Mostre, por meio da definição, que a derivada de
é
.
Passo 1
O enunciado pede: mostrar, por meio da definição de derivada, que a derivada da função
dada por
é
.
Informações que temos: a função é dada por
para todo
. Não há dados adicionais.
Informações que temos: a função é
Passo 2
Esclarecer a definição de derivada que vamos usar (essa é a definição clássica usando incremento). Para um ponto
, a derivada de
em
é, por definição,
desde que esse limite exista. Aqui:
-
é o número que chamamos de derivada de em ; -
é um incremento (pequeno) aplicado à variável independente ; - a expressão
é o quociente de diferença (ou coeficiente angular médio) entre e .
Na prova usaremos exatamente essa definição, aplicando a.
Passo 3
Aplicar a definição à função
: escrevemos a derivada em um ponto genérico
:
Agora substituímos
com
e com
.
Passo 4
Calcular o numerador
expandindo os quadrados:
Expandindo o binômio
obtemos
portanto
Passo 5
Substituir o resultado no quociente de diferença e simplificar fatorando
:
Como estamos considerando
dentro do quociente (o quociente não está definido exatamente em
), podemos cancelar o fator
para
, obtendo
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
. Usamos as propriedades usuais de limites (limite da soma é soma dos limites, limite de constante vezes variável etc.). Como
é constante em relação a
e
, segue que
Portanto o limite existe e vale
.
Passo 7
Como
era um ponto arbitrário da reta real, a relação vale para todo
. Substituindo a letra
pela variável usual
para escrever a derivada como função, obtemos
Passo 8
Comentário interpretativo e verificação numérica simples (para te dar confiança): a derivada
dá a inclinação da reta tangente ao gráfico de
em
. Por exemplo, em
temos
ou seja, a reta tangente ao gráfico de
em
tem inclinação
. Isso confere com a ideia de que a parábola cresce mais rápido quando
é maior.
Passo 9
Observações finais didáticas: o passo essencial na prova foi manipular algebricamente o quociente de diferença para cancelar o
e então aplicar a operação de limite. Esse tipo de fatoração é uma técnica padrão para polinômios; por exemplo, para
a mesma ideia (usar a fórmula do binômio ou fator comum) permite mostrar por definição que
(fórmula do poder).