Mostre, por meio da definição, que a derivada de f(x)=x^{2} é 2 x.

Passo 1

O enunciado pede: mostrar, por meio da definição de derivada, que a derivada da função f dada por f(x)=x^{2} é 2x.
Informações que temos: a função é f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por f(x)=x^{2} para todo x\in\mathbb{R}. Não há dados adicionais.

Passo 2

Esclarecer a definição de derivada que vamos usar (essa é a definição clássica usando incremento). Para um ponto a\in\mathbb{R}, a derivada de f em a é, por definição,
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
desde que esse limite exista. Aqui:
  • f'(a) é o número que chama­mos de derivada de f em a;
  • h é um incremento (pequeno) aplicado à variável independente x;
  • a expressão \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é o quociente de diferença (ou coeficiente angular médio) entre a e a+h.
    Na prova usaremos exatamente essa definição, aplicando a f(x)=x^{2}.

Passo 3

Aplicar a definição à função f(x)=x^{2}: escrevemos a derivada em um ponto genérico a:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Agora substituímos f(t)=t^{2} com t=a+h e com t=a.

Passo 4

Calcular o numerador f(a+h)-f(a) expandindo os quadrados:
f(a+h)-f(a)=(a+h)^{2}-a^{2}.
Expandindo o binômio (a+h)^{2} obtemos
(a+h)^{2}=a^{2}+2ah+h^{2},
portanto
f(a+h)-f(a)=(a^{2}+2ah+h^{2})-a^{2}=2ah+h^{2}.

Passo 5

Substituir o resultado no quociente de diferença e simplificar fatorando h:
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{2ah+h^{2}}{h}=\frac{h(2a+h)}{h}.
Como estamos considerando h\neq 0 dentro do quociente (o quociente não está definido exatamente em h=0), podemos cancelar o fator h para h\neq 0, obtendo
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=2a+h\quad\text{(para }h\neq 0\text{)}.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to 0. Usamos as propriedades usuais de limites (limite da soma é soma dos limites, limite de constante vezes variável etc.). Como 2a é constante em relação a h e \lim_{h\to 0}h=0, segue que
f'(a)=\lim_{h\to 0}(2a+h)=\lim_{h\to 0}2a+\lim_{h\to 0}h=2a+0=2a.
Portanto o limite existe e vale 2a.

Passo 7

Como a era um ponto arbitrário da reta real, a relação vale para todo a\in\mathbb{R}. Substituindo a letra a pela variável usual x para escrever a derivada como função, obtemos
f'(x)=2x\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.

Passo 8

Comentário interpretativo e verificação numérica simples (para te dar confiança): a derivada f'(x) dá a inclinação da reta tangente ao gráfico de f em x. Por exemplo, em x=3 temos
f'(3)=2\cdot 3=6,
ou seja, a reta tangente ao gráfico de y=x^{2} em x=3 tem inclinação 6. Isso confere com a ideia de que a parábola cresce mais rápido quando x é maior.

Passo 9

Observações finais didáticas: o passo essencial na prova foi manipular algebricamente o quociente de diferença para cancelar o h e então aplicar a operação de limite. Esse tipo de fatoração é uma técnica padrão para polinômios; por exemplo, para f(x)=x^{n} a mesma ideia (usar a fórmula do binômio ou fator comum) permite mostrar por definição que f'(x)=nx^{n-1} (fórmula do poder).

Resposta

f'(x)=2x

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