Consider the following linear system.
\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+5 x_{2}+2 x_{3}=-5 \\\\ 6 x_{1}+7 x_{2}-2 x_{3}=3 \\\\ 8 x_{1}+12 x_{2}+0 x_{3}=-4 \end{array}\right.
Determine the solution set.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear com três equações e três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3} e pede a determinação do conjunto solução. As equações dadas são:
\begin{cases} 2x_{1}+5x_{2}+2x_{3}=-5,\\[4pt] 6x_{1}+7x_{2}-2x_{3}=3,\\[4pt] 8x_{1}+12x_{2}+0x_{3}=-4. \end{cases}
Informações relevantes que temos:
  • São três equações lineares em três incógnitas.
  • Os coeficientes e termos constantes estão todos explícitos (veja-os nas três linhas acima).
  • Precisamos determinar se existe solução; se existir, encontrá-la (única ou infinita); se não, declarar que o sistema é inconsistente.]

Passo 2

Estratégia escolhida: eliminação de Gauss (eliminação por operações elementares sobre linhas). Breve explicação didática do método:
  • Representa-se o sistema pela matriz aumentada, juntando a matriz de coeficientes e a coluna dos termos independentes.
  • Aplicam-se operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) para transformar a matriz numa forma em que as soluções aparecem facilmente.
  • Se durante o processo aparecer uma linha do tipo [0\\\ 0\\\ 0 \mid b] com b\neq0, isso representa a equação 0=b, uma contradição, o que significa que o sistema é inconsistente (não tem solução).
Vou aplicar esse procedimento passo a passo, mostrando todas as contas.

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 5 & 2 & -5\\[4pt] 6 & 7 & -2 & 3\\[4pt] 8 & 12 & 0 & -4 \end{array}\right].
Aqui cada linha corresponde a uma equação (coeficientes de x_{1},x_{2},x_{3} e o termo constante).]

Passo 4

Escolho o pivô inicial na primeira linha, primeiro elemento ( 2). Vou eliminar x_{1} das linhas 2 e 3 usando combinações com a linha 1.
Operação na linha 2: \text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - 3\cdot\text{L}_1.
  • Cálculo componente a componente:
    • 6 - 3\cdot 2 = 6 - 6 = 0,
    • 7 - 3\cdot 5 = 7 - 15 = -8,
    • -2 - 3\cdot 2 = -2 - 6 = -8,
    • 3 - 3\cdot(-5) = 3 + 15 = 18.
      Logo a nova \text{L}_2 é [0\\\ -8\\\ -8 \mid 18].
Operação na linha 3: \text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - 4\cdot\text{L}_1.
  • Cálculo:
    • 8 - 4\cdot 2 = 8 - 8 = 0,
    • 12 - 4\cdot 5 = 12 - 20 = -8,
    • 0 - 4\cdot 2 = 0 - 8 = -8,
    • -4 - 4\cdot(-5) = -4 + 20 = 16.
      Logo a nova \text{L}_3 é [0\\\ -8\\\ -8 \mid 16].
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 5 & 2 & -5\\[4pt] 0 & -8 & -8 & 18\\[4pt] 0 & -8 & -8 & 16 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora quero eliminar o segundo coeficiente da linha 3 usando a nova linha 2. Faço \text{L}_3 \leftarrow \text{L}_3 - \text{L}_2.
Cálculo:
  • 0 - 0 = 0,
  • -8 - (-8) = -8 + 8 = 0,
  • -8 - (-8) = 0,
  • 16 - 18 = -2.
A nova \text{L}_3 é [0\\\ 0\\\ 0 \mid -2]. Assim a matriz aumentada passa a ser:
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 5 & 2 & -5\\[4pt] 0 & -8 & -8 & 18\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -2 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação da terceira linha: ela corresponde à equação
0\cdot x_{1} + 0\cdot x_{2} + 0\cdot x_{3} = -2,
ou seja
0 = -2.
Isto é uma contradição lógica (uma igualdade impossível). Conforme explicado no Passo 2, sempre que aparece uma linha desse tipo durante a eliminação, o sistema é inconsistente — não existem x_{1},x_{2},x_{3} que satisfaçam todas as equações simultaneamente.

Passo 7

Para dar outra visão intuitiva (sem matriz): observe que subtraindo a segunda equação da terceira (isto é, Eq3 − Eq2) obtemos:
(8-6)x_{1} + (12-7)x_{2} + (0-(-2))x_{3} = -4 - 3,
ou seja
2x_{1} + 5x_{2} + 2x_{3} = -7.
Mas a primeira equação nos diz
2x_{1} + 5x_{2} + 2x_{3} = -5.
Comparando as duas expressões para 2x_{1}+5x_{2}+2x_{3} temos -7 = -5, que é impossível. Essa contradição simples confirma que não há solução. (É a mesma contradição que apareceu como 0=-2 na eliminação.)

Passo 8

Conclusão e interpretação final: o sistema é inconsistente, ou seja, as três equações representam planos no espaço \mathbb{R}^{3} que não têm um ponto em comum. Portanto o conjunto solução é vazio.

Resposta

O sistema é inconsistente; o conjunto solução é \varnothing.

Exercícios relacionados