Mostre que para o modelo de Malthus, F(N)=r.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no modelo de Malthus, F(N)=r.
Informações dadas (assumidas como parte do modelo de Malthus):
  • A população é representada por N(t), função do tempo t.
  • O parâmetro r é a taxa intrínseca de crescimento, uma constante.
  • A equação diferencial que define o modelo de Malthus é
\frac{dN}{dt}=rN.
  • A função F(N) é a taxa de crescimento per capita, definida por
F(N)=\frac{1}{N}\,\frac{dN}{dt},
desde que N>0 (para permitir a divisão por N).
O objetivo é usar essas informações para mostrar algebraicamente que F(N)=r.

Passo 2

Vou explicar o que significa cada objeto para ficar bem claro.
  • \dfrac{dN}{dt} é a derivada de N em relação a t: representa a variação instantânea da população por unidade de tempo (ou seja, quantas unidades a população cresce por unidade de tempo naquele instante).
  • A expressão \dfrac{1}{N}\dfrac{dN}{dt} é a variação por indivíduo (ou por unidade de população): pega a variação total \dfrac{dN}{dt} e divide pelo número de indivíduos N, daí o nome “taxa per capita”. É isso que chamamos de F(N).
  • É importante que N>0 para que a divisão por N faça sentido; em problemas de população normalmente consideramos N(t)>0.
Um exemplo numérico rápido para entendimento: se \dfrac{dN}{dt}=20 e N=100, então a taxa per capita é \dfrac{1}{100}\cdot 20=0{,}2, ou 20\% por unidade de tempo.

Passo 3

Agora trago a equação específica do modelo de Malthus, que já foi dada:
\frac{dN}{dt}=rN,
onde r é constante (independente de N e de t).
Interpretação: a taxa de variação absoluta da população é proporcional ao tamanho da população; a constante de proporcionalidade é r.

Passo 4

Substituo a expressão da equação de Malthus dentro da definição de F(N). Pela definição,
F(N)=\frac{1}{N}\,\frac{dN}{dt}.
Usando \dfrac{dN}{dt}=rN, obtemos
F(N)=\frac{1}{N}\cdot (rN).
Como N>0, pode-se cancelar N no numerador e no denominador, ficando
F(N)=r.

Passo 5

Interpretação e reforço: a razão F(N)=r mostra que, no modelo de Malthus, a taxa de crescimento por indivíduo é constante e não depende do tamanho da população N. Isso caracteriza crescimento exponencial (ou crescimento independente da densidade). Uma consequência prática (opcional, para reforçar) é que a solução da equação \dfrac{dN}{dt}=rN é
N(t)=N(0)e^{rt},
o que confirma que cada indivíduo, em média, contribui com uma taxa r ao crescimento percentual da população.

Resposta

r

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