Mostre que para o modelo de Malthus,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no modelo de Malthus,
.
Informações dadas (assumidas como parte do modelo de Malthus):
- A população é representada por
, função do tempo . - O parâmetro
é a taxa intrínseca de crescimento, uma constante. - A equação diferencial que define o modelo de Malthus é
- A função
é a taxa de crescimento per capita, definida por
desde que
(para permitir a divisão por
).
O objetivo é usar essas informações para mostrar algebraicamente que
.
Passo 2
Vou explicar o que significa cada objeto para ficar bem claro.
-
é a derivada de em relação a : representa a variação instantânea da população por unidade de tempo (ou seja, quantas unidades a população cresce por unidade de tempo naquele instante). - A expressão
é a variação por indivíduo (ou por unidade de população): pega a variação total e divide pelo número de indivíduos , daí o nome “taxa per capita”. É isso que chamamos de . - É importante que
para que a divisão por faça sentido; em problemas de população normalmente consideramos .
Um exemplo numérico rápido para entendimento: se
e
, então a taxa per capita é
, ou
por unidade de tempo.
Passo 3
Agora trago a equação específica do modelo de Malthus, que já foi dada:
onde
é constante (independente de
e de
).
Interpretação: a taxa de variação absoluta da população é proporcional ao tamanho da população; a constante de proporcionalidade é
.
Passo 4
Substituo a expressão da equação de Malthus dentro da definição de
. Pela definição,
Usando
, obtemos
Como
, pode-se cancelar
no numerador e no denominador, ficando
Passo 5
Interpretação e reforço: a razão
mostra que, no modelo de Malthus, a taxa de crescimento por indivíduo é constante e não depende do tamanho da população
. Isso caracteriza crescimento exponencial (ou crescimento independente da densidade). Uma consequência prática (opcional, para reforçar) é que a solução da equação
é
o que confirma que cada indivíduo, em média, contribui com uma taxa
ao crescimento percentual da população.