Mostre que para o modelo de Verhulst, F(N)=r(1-N / K);

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar algebraicamente que, no modelo de Verhulst, a função per capita de crescimento F(N) é
F(N)=r\!\left(1-\frac{N}{K}\right).
Informações relevantes que usaremos (essas são as hipóteses típicas do modelo):
  • N é o tamanho da população (variável).
  • r é a taxa de crescimento intrínseca (taxa per capita quando a população é muito pequena); é uma constante positiva.
  • K é a capacidade de suporte (carrying capacity): o valor de N tal que o crescimento total da população é zero; é uma constante positiva.
  • No modelo de população unidimensional usamos a representação per capita do crescimento como uma função de N, isto é, o modelo pode ser escrito como
\frac{dN}{dt}=N\,F(N),
onde F(N) é a taxa de crescimento por indivíduo dependendo de N.

Passo 2

Ideia de construção: procurar a forma mais simples de F(N) que respeite as hipóteses. Como o crescimento per capita deve diminuir quando N aumenta (competição por recursos) e deve ser finito e contínuo, a escolha mais simples e natural é uma função afim (linear) em N. Então proponho
F(N)=a-bN,
onde a e b são constantes positivas a determinar a partir das condições físicas do problema. Explicando: uma função afim significa que, ao aumentar N uma unidade, F(N) diminui sempre pela mesma quantidade b — é o modelo mais simples que incorpora decaimento linear do crescimento per capita.

Passo 3

Usar a condição em N=0. Quando a população é muito pequena ( N\to0), espera-se que o efeito da competição seja desprezível e o crescimento per capita seja a taxa intrínseca r. Portanto impomos
F(0)=a-b\cdot 0 = a = r.
Isso nos dá já a=r. Aqui expliquei: F(0) é o crescimento per capita sem efeitos de densidade, que é exatamente r.

Passo 4

Usar a condição em N=K. Definição de capacidade de suporte: em N=K a população não cresce (equilíbrio), ou seja, o crescimento per capita deve ser zero. Então impomos
F(K)=a-bK=0.
Substituindo a=r nessa igualdade obtemos
r - bK = 0.

Passo 5

Resolver para b. Da equação anterior isolamos b:
b = \frac{r}{K}.
Interpretação: o declive da função linear F(N) é a razão entre a taxa intrínseca r e a capacidade K.

Passo 6

Substituir a e b na forma afim inicial. Tínhamos F(N)=a-bN com a=r e b=r/K. Substituindo:
F(N)=r - \frac{r}{K}\,N.
Colocando em fator comum r,
F(N)=r\!\left(1-\frac{N}{K}\right),
que é exatamente a forma a ser demonstrada.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida (para fixar a ideia):
  • F(0)=r(1-0)=r (taxa intrínseca correta).
  • F(K)=r(1-K/K)=0 (crescimento nulo em N=K).
  • Se 0<N<K então F(N)>0 e a população cresce; se N>K então F(N)<0 e a população decai — comportamento coerente com a noção de capacidade de suporte.
    Exemplo numérico rápido: se r=0,5 e K=100, então F(50)=0,5(1-50/100)=0,25.

Resposta

F(N)=r\!\left(1-\frac{N}{K}\right)

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