Mostre que para o modelo de Verhulst,
;
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar algebraicamente que, no modelo de Verhulst, a função per capita de crescimento
é
Informações relevantes que usaremos (essas são as hipóteses típicas do modelo):
-
é o tamanho da população (variável). -
é a taxa de crescimento intrínseca (taxa per capita quando a população é muito pequena); é uma constante positiva. -
é a capacidade de suporte (carrying capacity): o valor de tal que o crescimento total da população é zero; é uma constante positiva. - No modelo de população unidimensional usamos a representação per capita do crescimento como uma função de
, isto é, o modelo pode ser escrito como
onde
é a taxa de crescimento por indivíduo dependendo de
.
Passo 2
Ideia de construção: procurar a forma mais simples de
que respeite as hipóteses. Como o crescimento per capita deve diminuir quando
aumenta (competição por recursos) e deve ser finito e contínuo, a escolha mais simples e natural é uma função afim (linear) em
. Então proponho
onde
e
são constantes positivas a determinar a partir das condições físicas do problema. Explicando: uma função afim significa que, ao aumentar
uma unidade,
diminui sempre pela mesma quantidade
— é o modelo mais simples que incorpora decaimento linear do crescimento per capita.
Passo 3
Usar a condição em
. Quando a população é muito pequena (
), espera-se que o efeito da competição seja desprezível e o crescimento per capita seja a taxa intrínseca
. Portanto impomos
Isso nos dá já
. Aqui expliquei:
é o crescimento per capita sem efeitos de densidade, que é exatamente
.
Passo 4
Usar a condição em
. Definição de capacidade de suporte: em
a população não cresce (equilíbrio), ou seja, o crescimento per capita deve ser zero. Então impomos
Substituindo
nessa igualdade obtemos
Passo 5
Resolver para
. Da equação anterior isolamos
:
Interpretação: o declive da função linear
é a razão entre a taxa intrínseca
e a capacidade
.
Passo 6
Substituir
e
na forma afim inicial. Tínhamos
com
e
. Substituindo:
Colocando em fator comum
,
que é exatamente a forma a ser demonstrada.
Passo 7
Interpretação final e verificação rápida (para fixar a ideia):
-
(taxa intrínseca correta). -
(crescimento nulo em ). - Se
então e a população cresce; se então e a população decai — comportamento coerente com a noção de capacidade de suporte.
Exemplo numérico rápido: see , então .