Mostre que o momento Angular pode ser escrito como:
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que o momento angular de um corpo rígido pode ser escrito como
Informações relevantes e hipótese que vamos usar: temos um corpo rígido em rotação pura com velocidade angular
em torno do seu centro de massa (C.M.). Vamos medir posições dos elementos de massa em relação ao centro de massa; denotaremos a posição do
-ésimo elemento por
e sua massa por
. A resolução começa a partir da definição do momento angular para o conjunto de partículas que compõem o corpo rígido.
Passo 2
Definição do momento angular (discreto): o momento angular total do corpo em relação ao centro de massa é a soma sobre as partículas de
Explicando as letras:
é o vetor posição do elemento
em relação ao centro de massa,
é a velocidade desse elemento,
sua massa. Não resolvemos ainda: apenas estabelecemos a fórmula básica do que é
.
Passo 3
Velocidade de um ponto num corpo rígido em rotação pura: para um corpo rígido que gira com velocidade angular
em torno do C.M., a velocidade do ponto
é dada por
Motivação e intuição: essa fórmula vem da cinemática de rotação rígida — cada ponto descreve um movimento circular instantâneo em torno do eixo instantâneo de rotação, e a regra da mão direita dá a direção de
. Substituímos essa expressão na definição de
.
Passo 4
Substituição na definição de
:
Agora usamos a identidade vetorial do produto triplo (produto vetorial de um vetor por um produto vetorial): para vetores
vale
Aplicando com
,
,
obtemos
onde
. Isso transforma
numa soma de termos lineares em
.
Passo 5
Escrevendo
após a identidade:
Agora vamos passar para a forma componente a componente (útil para definir o tensor de inércia). Denotando componentes por índices (índice
para a componente resultante), a
-ésima componente de
é
Expandindo
e usando a delta de Kronecker
(que vale
se
e
caso contrário), reescrevemos
Como
não depende do índice
, podemos definir as componentes do tensor de inércia por
Com essa definição, a relação componente a componente fica simplesmente
Passo 6
Interpretação matricial e versão contínua: a expressão em notação de índices acima corresponde, em linguagem matricial, a
onde
é a matriz (ou tensor de segunda ordem) de componentes
definidos no passo anterior. Para uma distribuição contínua de massa com densidade
a soma é substituída por uma integral e obtemos
Observações didáticas: o tensor é simétrico (
), e em eixos próprios (eixos principais de inércia) a matriz é diagonal — nesses eixos
fica paralelo a
. Em eixos arbitrários,
e
podem não ser paralelos; a relação correta é a multiplicação pelo tensor de inércia como mostrado.
Passo 7
Resumo do raciocínio em uma frase (motivação para a prova): começamos da definição do momento angular como soma de
, usamos
(rotação rígida), aplicamos a identidade do produto triplo para escrever o integrando como combinação linear de
e
, e então agrupamos os coeficientes de
para definir as componentes do tensor de inércia
. Isso nos dá exatamente a forma linear
.