Mostre que o momento Angular pode ser escrito como:
\vec{L}=\overleftrightarrow{\mathbf{I}} \cdot \vec{\omega}

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que o momento angular de um corpo rígido pode ser escrito como
\vec{L}=\overleftrightarrow{\mathbf{I}}\cdot\vec{\omega}.
Informações relevantes e hipótese que vamos usar: temos um corpo rígido em rotação pura com velocidade angular \vec{\omega} em torno do seu centro de massa (C.M.). Vamos medir posições dos elementos de massa em relação ao centro de massa; denotaremos a posição do i-ésimo elemento por \vec{r}_i e sua massa por m_i. A resolução começa a partir da definição do momento angular para o conjunto de partículas que compõem o corpo rígido.

Passo 2

Definição do momento angular (discreto): o momento angular total do corpo em relação ao centro de massa é a soma sobre as partículas de
\vec{L}=\sum_i \vec{r}_i\times m_i\vec{v}_i.
Explicando as letras: \vec{r}_i é o vetor posição do elemento i em relação ao centro de massa, \vec{v}_i é a velocidade desse elemento, m_i sua massa. Não resolvemos ainda: apenas estabelecemos a fórmula básica do que é \vec{L}.

Passo 3

Velocidade de um ponto num corpo rígido em rotação pura: para um corpo rígido que gira com velocidade angular \vec{\omega} em torno do C.M., a velocidade do ponto i é dada por
\vec{v}_i=\vec{\omega}\times\vec{r}_i.
Motivação e intuição: essa fórmula vem da cinemática de rotação rígida — cada ponto descreve um movimento circular instantâneo em torno do eixo instantâneo de rotação, e a regra da mão direita dá a direção de \vec{v}_i. Substituímos essa expressão na definição de \vec{L}.

Passo 4

Substituição na definição de \vec{L}:
\vec{L}=\sum_i \vec{r}_i\times m_i(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) =\sum_i m_i\bigl(\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i)\bigr).
Agora usamos a identidade vetorial do produto triplo (produto vetorial de um vetor por um produto vetorial): para vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} vale
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b}).
Aplicando com \vec{a}=\vec{r}_i, \vec{b}=\vec{\omega}, \vec{c}=\vec{r}_i obtemos
\vec{r}_i\times(\vec{\omega}\times\vec{r}_i) = \vec{\omega}(\vec{r}_i\cdot\vec{r}_i)-\vec{r}_i(\vec{r}_i\cdot\vec{\omega}) = r_i^2\vec{\omega} - (\vec{r}_i\cdot\vec{\omega})\vec{r}_i,
onde r_i^2=\vec{r}_i\cdot\vec{r}_i. Isso transforma \vec{L} numa soma de termos lineares em \vec{\omega}.

Passo 5

Escrevendo \vec{L} após a identidade:
\vec{L}=\sum_i m_i\bigl(r_i^2\vec{\omega} - (\vec{r}_i\cdot\vec{\omega})\vec{r}_i\bigr).
Agora vamos passar para a forma componente a componente (útil para definir o tensor de inércia). Denotando componentes por índices (índice j para a componente resultante), a j-ésima componente de \vec{L} é
L_j=\sum_i m_i\bigl(r_i^2 \,\omega_j - (\vec{r}_i\cdot\vec{\omega})\, r_{i,j}\bigr).
Expandindo (\vec{r}_i\cdot\vec{\omega})=\sum_k r_{i,k}\omega_k e usando a delta de Kronecker \delta_{jk} (que vale 1 se j=k e 0 caso contrário), reescrevemos
L_j=\sum_i m_i\Bigl(\sum_k (r_i^2\delta_{jk}-r_{i,j}r_{i,k})\omega_k\Bigr).
Como \omega_k não depende do índice i, podemos definir as componentes do tensor de inércia por
I_{jk}=\sum_i m_i\bigl(r_i^2\delta_{jk}-r_{i,j}r_{i,k}\bigr).
Com essa definição, a relação componente a componente fica simplesmente
L_j=\sum_k I_{jk}\,\omega_k.

Passo 6

Interpretação matricial e versão contínua: a expressão em notação de índices acima corresponde, em linguagem matricial, a
\vec{L}=\overleftrightarrow{\mathbf{I}}\cdot\vec{\omega},
onde \overleftrightarrow{\mathbf{I}} é a matriz (ou tensor de segunda ordem) de componentes I_{jk} definidos no passo anterior. Para uma distribuição contínua de massa com densidade \rho(\vec{r}) a soma é substituída por uma integral e obtemos
I_{jk}=\int \rho(\vec{r})\bigl(r^2\delta_{jk}-r_j r_k\bigr)\,dV.
Observações didáticas: o tensor é simétrico ( I_{jk}=I_{kj}), e em eixos próprios (eixos principais de inércia) a matriz é diagonal — nesses eixos \vec{L} fica paralelo a \vec{\omega}. Em eixos arbitrários, \vec{L} e \vec{\omega} podem não ser paralelos; a relação correta é a multiplicação pelo tensor de inércia como mostrado.

Passo 7

Resumo do raciocínio em uma frase (motivação para a prova): começamos da definição do momento angular como soma de \vec{r}\times m\vec{v}, usamos \vec{v}=\vec{\omega}\times\vec{r} (rotação rígida), aplicamos a identidade do produto triplo para escrever o integrando como combinação linear de \vec{\omega} e \vec{r}, e então agrupamos os coeficientes de \vec{\omega} para definir as componentes do tensor de inércia I_{jk}. Isso nos dá exatamente a forma linear \vec{L}=\overleftrightarrow{\mathbf{I}}\cdot\vec{\omega}.

Resposta

\vec{L}=\overleftrightarrow{\mathbf{I}}\cdot\vec{\omega}

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