Mostre que a Energia Cinética de Rotação assume a forma:
T=\frac{1}{2} \vec{\omega} \cdot \overleftrightarrow{\mathbf{I}} \cdot \vec{\omega}
onde \overleftrightarrow{\mathbf{I}} é o tensor momento de inércia.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a energia cinética de rotação de um corpo rígido pode ser escrita na forma
T=\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\overleftrightarrow{\mathbf{I}}\cdot\vec{\omega},
onde \vec{\omega} é a velocidade angular do corpo (em relação ao centro de massa) e \overleftrightarrow{\mathbf{I}} é o tensor momento de inércia.
Informações dadas e condições relevantes (implícitas na figura e no enunciado):
  • O corpo rígido é descrito por um conjunto de partículas (ou por uma distribuição contínua) cujas posições relativas ao centro de massa são \{\mathbf{r}_i\}.
  • O corpo gira com velocidade angular \vec{\omega} em torno do centro de massa; a velocidade de cada ponto i é dada por \mathbf{v}_i=\vec{\omega}\times\mathbf{r}_i.
  • A energia cinética total do corpo é a soma das energias cinéticas das partículas: T=\tfrac{1}{2}\sum_i m_i \mathbf{v}_i^2.
    É isso que temos; agora vamos derivar passo a passo a forma pedida.

Passo 2

Escrevemos a energia cinética como soma das energias das partículas e usamos a expressão da velocidade de cada ponto na rotação rígida:
T=\frac{1}{2}\sum_i m_i \mathbf{v}_i^2.
Para rotação rígida em torno do centro de massa, a velocidade de cada partícula i é
\mathbf{v}_i=\vec{\omega}\times\mathbf{r}_i.
Explico rápido por que: o módulo da velocidade é v_i=|\vec{\omega}||\mathbf{r}_{i,\perp}| (distância perpendicular ao eixo) e a direção é perpendicular ao plano formado por \vec{\omega} e \mathbf{r}_i; isso é exatamente o produto vetorial \vec{\omega}\times\mathbf{r}_i. Então
T=\frac{1}{2}\sum_i m_i \left|\vec{\omega}\times\mathbf{r}_i\right|^2.

Passo 3

Usamos uma identidade vetorial útil para simplificar \left|\vec{\omega}\times\mathbf{r}_i\right|^2. A identidade é
\left|\mathbf{a}\times\mathbf{b}\right|^2 = |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2.
Justificativa rápida e intuitiva: geometricamente |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta, então ao quadrado dá |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2\sin^2\theta = |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2 - |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2\cos^2\theta = |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2 - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})^2. Aplicando com \mathbf{a}=\vec{\omega} e \mathbf{b}=\mathbf{r}_i obtemos
\left|\vec{\omega}\times\mathbf{r}_i\right|^2 = |\vec{\omega}|^2|\mathbf{r}_i|^2 - (\vec{\omega}\cdot\mathbf{r}_i)^2.
Substituindo em T temos
T=\frac{1}{2}\sum_i m_i\Big(|\vec{\omega}|^2|\mathbf{r}_i|^2 - (\vec{\omega}\cdot\mathbf{r}_i)^2\Big).

Passo 4

Agora vamos passar essa expressão para notação de componentes (isso facilita definir o tensor). Use índices cartesianoss j,k\in\{1,2,3\} e a convenção de soma sobre índices repetidos. Escrevemos |\vec{\omega}|^2=\omega_j\omega_j, |\mathbf{r}_i|^2=r_{i,\ell}r_{i,\ell} e (\vec{\omega}\cdot\mathbf{r}_i)^2=(\omega_j r_{i,j})(\omega_k r_{i,k})=\omega_j\omega_k r_{i,j} r_{i,k}. Assim
T=\frac{1}{2}\sum_i m_i\big(\omega_j\omega_j\, r_{i,\ell}r_{i,\ell} - \omega_j\omega_k\, r_{i,j} r_{i,k}\big).
Reorganizando para colocar os fatores \omega fora da soma:
T=\frac{1}{2}\,\omega_j\omega_k\sum_i m_i\big(r_{i,\ell}r_{i,\ell}\,\delta_{jk} - r_{i,j} r_{i,k}\big),
onde \delta_{jk} é o delta de Kronecker (que aparece porque escrevemos \omega_j\omega_j r_{i,\ell}r_{i,\ell} = \omega_j\omega_k\, r_{i,\ell}r_{i,\ell}\,\delta_{jk}).

Passo 5

Definimos então as componentes do tensor momento de inércia \overleftrightarrow{\mathbf{I}} por
I_{jk} \equiv \sum_i m_i\big(r_{i,\ell}r_{i,\ell}\,\delta_{jk} - r_{i,j} r_{i,k}\big).
Explicação das peças:
  • r_{i,\ell}r_{i,\ell}=|\mathbf{r}_i|^2 é o quadrado da distância do ponto i ao centro de massa.
  • r_{i,j} é a componente j-ésima do vetor \mathbf{r}_i.
  • A combinação r_{i,\ell}r_{i,\ell}\,\delta_{jk} - r_{i,j} r_{i,k} garante que o tensor incorpore tanto a dependência com a distância quanto a projeção ao longo dos eixos; essa é a definição padrão do tensor de inércia para um conjunto discreto de massas.
    Note que I_{jk}=I_{kj} (o tensor é simétrico) e que, em eixos principais, \overleftrightarrow{\mathbf{I}} fica diagonal.

Passo 6

Com essa definição a expressão da energia cinética fica compacta em notação de componentes:
T=\frac{1}{2}\,\omega_j I_{jk}\omega_k.
Essa soma em índices é exatamente a forma bilinear que em notação vetorial e de produto escalar escreve-se
T=\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\overleftrightarrow{\mathbf{I}}\cdot\vec{\omega}.
Interpretação: a energia cinética rotacional é metade do produto escalar entre \vec{\omega} e o vetor \overleftrightarrow{\mathbf{I}}\cdot\vec{\omega} (que é o momento angular \mathbf{L} quando as componentes do momento de inércia multiplicam as componentes de \omega em eixos próprios).

Passo 7

Também vale escrever a versão para distribuição contínua de massa: substitui-se \sum_i m_i por \int \rho(\mathbf r)\,d^3r. Assim as componentes do tensor ficam
I_{jk}=\int \rho(\mathbf r)\big(r_\ell r_\ell\,\delta_{jk} - r_j r_k\big)\,d^3r,
e a energia continua dada por
T=\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\overleftrightarrow{\mathbf{I}}\cdot\vec{\omega}.
Dica prática: em eixos principais (onde \overleftrightarrow{\mathbf{I}} é diagonal com autovalores I_1,I_2,I_3) a expressão se reduz a
T=\frac{1}{2}\big(I_1\omega_1^2+I_2\omega_2^2+I_3\omega_3^2\big),
o que é útil na hora da prova — procure sempre escolher eixos principais se possível.

Resposta

T=\frac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\overleftrightarrow{\mathbf{I}}\cdot\vec{\omega}

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