Mostre que não existe um campo vetorial G tal que
rot G = 2 x i + 3 y z j - x z^2 k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que não existe um campo vetorial tal que o rotacional de seja igual a . Para resolver isso, vamos usar o conceito de divergência de um campo vetorial e uma propriedade importante dos rotacionais.

Passo 2

Sabemos que o rotacional de qualquer campo vetorial sempre tem divergência zero. Isso é uma propriedade matemática importante: . Portanto, se conseguirmos mostrar que a divergência do campo dado não é zero, podemos concluir que ele não pode ser o rotacional de nenhum campo vetorial .

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial fornecido:
Calculando cada derivada:
Somando essas partes:

Passo 4

Agora, observamos que a divergência do campo não é igual a zero, já que depende das variáveis e :
Isso significa que o campo não satisfaz a condição necessária para ser o rotacional de algum campo vetorial .

Resposta

Portanto, concluímos que não existe um campo vetorial tal que .

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