Mostre que não existe um campo vetorial
tal que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que não existe um campo vetorial
tal que o rotacional de
seja igual a
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de divergência de um campo vetorial e uma propriedade importante dos rotacionais.
Passo 2
Sabemos que o rotacional de qualquer campo vetorial sempre tem divergência zero. Isso é uma propriedade matemática importante:
. Portanto, se conseguirmos mostrar que a divergência do campo dado não é zero, podemos concluir que ele não pode ser o rotacional de nenhum campo vetorial
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo vetorial fornecido:
Calculando cada derivada:
Somando essas partes:
Passo 4
Agora, observamos que a divergência do campo
não é igual a zero, já que depende das variáveis
e
:
Isso significa que o campo
não satisfaz a condição necessária para ser o rotacional de algum campo vetorial
.
Resposta
Portanto, concluímos que não existe um campo vetorial
tal que
.