Mostre que não são logicamente equivalentes:
(p \rightarrow q) \rightarrow r e p \rightarrow(q \rightarrow r). (significa que a operação \rightarrow no conjunto das proposições não tem a propriedade associativa)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as fórmulas
(p\to q)\to r
e
p\to (q\to r)
não são logicamente equivalentes. O conteúdo é lógica proposicional e vamos usar a definição
p\to q \equiv \lnot p \lor q
e, em seguida, comparar as duas fórmulas, seja por simplificação algébrica, seja por contra­exemplo.

Passo 2

Reescrevendo algebraicamente a primeira fórmula:
(p\to q)\to r \;\equiv\; \lnot(p\to q)\;\lor\;r \;\equiv\;\lnot(\lnot p\lor q)\;\lor\;r \;\equiv\;(p\land \lnot q)\;\lor\;r.

Passo 3

Reescrevendo a segunda fórmula:
p\to (q\to r) \;\equiv\;\lnot p\;\lor\;(q\to r) \;\equiv\;\lnot p\;\lor\;(\lnot q\lor r) \;\equiv\;\lnot p\;\lor\;\lnot q\;\lor\;r.

Passo 4

Agora basta encontrar uma atribuição que faça as duas se diferirem. Seja
p = \text{F},\quad q = \text{T},\quad r = \text{F}.
Então
(p\to q)\to r \;\equiv\;(p\land \lnot q)\lor r \;=\;(F\land F)\lor F \;=\;F,
enquanto
p\to (q\to r) \;\equiv\;\lnot p\lor \lnot q\lor r \;=\;T\lor F\lor F \;=\;T.
Como os valores de verdade são distintos nessa atribuição, as fórmulas não são logicamente equivalentes.

Resposta

As fórmulas não são equivalentes. Por exemplo, para (p,q,r)=(F,T,F) temos
(p\to q)\to r = F e
p\to(q\to r) = T.

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