Mostre que não são logicamente equivalentes:
(p \vee r) \longleftrightarrow(q \vee r) e p \longleftrightarrow q. (ou seja, não vale uma lei de cancelamente análoga à que vale para números x+z=y+z \longleftrightarrow x=y )

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as fórmulas
(p \vee r)\leftrightarrow(q \vee r)
e
p\leftrightarrow q
não têm o mesmo valor de verdade em todas as atribuições de (p,q,r). Para provar que não são logicamente equivalentes, basta encontrar uma atribuição em que seus valores de verdade divergirem.

Passo 2

Escolhemos a atribuição em que p é verdadeira, q é falsa e r é verdadeira.

Passo 3

Com essa atribuição, calculamos primeiro p \vee r e q \vee r:
p \vee r = \text{Verdadeiro}\vee \text{Verdadeiro} = \text{Verdadeiro},
q \vee r = \text{Falso}\vee \text{Verdadeiro} = \text{Verdadeiro}.
Logo,
(p \vee r)\leftrightarrow(q \vee r) =\text{Verdadeiro}\leftrightarrow\text{Verdadeiro} =\text{Verdadeiro}.

Passo 4

Agora avaliaremos p\leftrightarrow q na mesma atribuição:
p\leftrightarrow q =\text{Verdadeiro}\leftrightarrow\text{Falso} =\text{Falso}.

Resposta

As duas fórmulas não têm sempre o mesmo valor de verdade (num caso uma é verdadeira e a outra é falsa), logo
(p \vee r)\leftrightarrow(q \vee r)
não é logicamente equivalente a
p\leftrightarrow q.

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