Mostre que, se \omega_{1}=\omega_{2}, a potência de
C 1 \cos \left(\omega_{1} t+\theta_{1}\right)+C 2 \cos \left(\omega_{2} t+\theta_{2}\right)
é \left[C_{1}^{2}+C_{2}^{2}+2 C_{1} C_{2} \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right] / 2.

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=C_{1}\cos\!\left(\omega_{1}t+\theta_{1}\right)+C_{2}\cos\!\left(\omega_{2}t+\theta_{2}\right)
e impõe a condição \omega_{1}=\omega_{2}. A tarefa é mostrar que a potência média desse sinal vale
\frac{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}+2C_{1}C_{2}\cos\!\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)}{2}.
Informações relevantes que temos:
  • C_{1},C_{2} são amplitudes (números reais).
  • \theta_{1},\theta_{2} são fases (números reais).
  • \omega_{1}=\omega_{2}=\omega é a frequência angular comum.
  • “Potência” aqui refere-se à potência média (valor médio no tempo de x^{2}(t)).

Passo 2

Definição de potência média (o que vamos calcular). Para um sinal determinístico x(t) com período T_{0} (ou para sinais estacionários), a potência média é
P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x^{2}(t)\,dt.
Se x(t) é periódico com período T_{0}, basta integrar sobre um período:
P=\frac{1}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}}x^{2}(t)\,dt.
Aqui, como \omega_{1}=\omega_{2}=\omega, x(t) é periódico com T_{0}=2\pi/\omega. Vamos, portanto, calcular a média temporal de x^{2}(t).

Passo 3

Expandir o quadrado de x(t). Escrevendo \omega_{1}=\omega_{2}=\omega e chamando
x(t)=C_{1}\cos\!(\omega t+\theta_{1})+C_{2}\cos\!(\omega t+\theta_{2}),
temos
x^{2}(t)=C_{1}^{2}\cos^{2}\!(\omega t+\theta_{1})+C_{2}^{2}\cos^{2}\!(\omega t+\theta_{2})+2C_{1}C_{2}\cos\!(\omega t+\theta_{1})\cos\!(\omega t+\theta_{2}).

Passo 4

Usar a identidade trigonométrica para \cos^{2}. A identidade básica é
\cos^{2}\alpha=\frac{1+\cos(2\alpha)}{2}.
Essa identidade vem da fórmula de ângulo duplo \cos(2\alpha)=2\cos^{2}\alpha-1. Aplicando a cada termo quadrático obtemos:
C_{1}^{2}\cos^{2}\!(\omega t+\theta_{1})=\frac{C_{1}^{2}}{2}\left[1+\cos(2\omega t+2\theta_{1})\right],
C_{2}^{2}\cos^{2}\!(\omega t+\theta_{2})=\frac{C_{2}^{2}}{2}\left[1+\cos(2\omega t+2\theta_{2})\right].

Passo 5

Tratar o termo cruzado com a identidade para produto de cossenos. A identidade é
\cos A\cos B=\frac{1}{2}\big[\cos(A-B)+\cos(A+B)\big].
Aplicando com A=\omega t+\theta_{1} e B=\omega t+\theta_{2} temos
\cos(\omega t+\theta_{1})\cos(\omega t+\theta_{2})=\frac{1}{2}\big[\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+\cos(2\omega t+\theta_{1}+\theta_{2})\big].
Multiplicando por 2C_{1}C_{2} (do termo expandido) dá
2C_{1}C_{2}\cos(\omega t+\theta_{1})\cos(\omega t+\theta_{2})=C_{1}C_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})+C_{1}C_{2}\cos(2\omega t+\theta_{1}+\theta_{2}).

Passo 6

Reunir tudo para escrever x^{2}(t) como soma de termos constantes e termos com cosseno de frequência 2\omega. Substituindo os resultados dos passos anteriores,
x^{2}(t)=\frac{C_{1}^{2}}{2}+\frac{C_{2}^{2}}{2}+C_{1}C_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})
\qquad\qquad +\frac{C_{1}^{2}}{2}\cos(2\omega t+2\theta_{1})+\frac{C_{2}^{2}}{2}\cos(2\omega t+2\theta_{2})+C_{1}C_{2}\cos(2\omega t+\theta_{1}+\theta_{2}).
Aqui os três primeiros termos são constantes no tempo; os últimos três são cossenos oscilantes com frequência 2\omega.

Passo 7

Fazer a média temporal: os termos oscilantes com frequência não nula têm média zero sobre um período inteiro. Formalmente, para qualquer \varphi,
\frac{1}{T_{0}}\int_{0}^{T_{0}}\cos(2\omega t+\varphi)\,dt=0,
porque \cos integra para zero em um número inteiro de meios-períodos; como T_{0}=2\pi/\omega é um período de \cos(2\omega t+\varphi) multiplicado por um inteiro, a integral se anula. Portanto, ao calcular a potência média só ficam os termos constantes.
Assim,
P=\frac{C_{1}^{2}}{2}+\frac{C_{2}^{2}}{2}+C_{1}C_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2}).

Passo 8

Colocar o resultado numa forma factorizada que aparece no enunciado. Agrupando com um denominador comum 2,
P=\frac{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}+2C_{1}C_{2}\cos(\theta_{1}-\theta_{2})}{2},
que é exatamente a expressão pedida.

Passo 9

Comentário didático rápido (como aplicar isso numa prova). Estratégia geral:
  • Identifique que potências médias são médias de x^{2}(t).
  • Expanda o quadrado e use identidades trigonométricas simples: \cos^{2} e \cos A\cos B.
  • Observe que termos oscilantes de média zero desaparecem ao calcular a média; sobra apenas a soma das partes constantes.
    Alternativa curta (às vezes mais elegante): representar cada cosseno por um fasor complexo C e^{j\theta} e usar que a potência média de \Re\{A e^{j\omega t}\} é |A|^{2}/2. Somando fasores obtém-se o mesmo resultado: P=|C_{1}e^{j\theta_{1}}+C_{2}e^{j\theta_{2}}|^{2}/2, que ao expandir dá a mesma fórmula.

Resposta

\displaystyle \frac{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}+2C_{1}C_{2}\cos\!\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)}{2}

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