Mostre que, se
, a potência de
é
.
Passo 1
O enunciado dá o sinal
e impõe a condição
. A tarefa é mostrar que a potência média desse sinal vale
Informações relevantes que temos:
-
são amplitudes (números reais). -
são fases (números reais). -
é a frequência angular comum. - “Potência” aqui refere-se à potência média (valor médio no tempo de
).
Passo 2
Definição de potência média (o que vamos calcular). Para um sinal determinístico
com período
(ou para sinais estacionários), a potência média é
Se
é periódico com período
, basta integrar sobre um período:
Aqui, como
,
é periódico com
. Vamos, portanto, calcular a média temporal de
.
Passo 3
Expandir o quadrado de
. Escrevendo
e chamando
temos
Passo 4
Usar a identidade trigonométrica para
. A identidade básica é
Essa identidade vem da fórmula de ângulo duplo
. Aplicando a cada termo quadrático obtemos:
Passo 5
Tratar o termo cruzado com a identidade para produto de cossenos. A identidade é
Aplicando com
e
temos
Multiplicando por
(do termo expandido) dá
Passo 6
Reunir tudo para escrever
como soma de termos constantes e termos com cosseno de frequência
. Substituindo os resultados dos passos anteriores,
Aqui os três primeiros termos são constantes no tempo; os últimos três são cossenos oscilantes com frequência
.
Passo 7
Fazer a média temporal: os termos oscilantes com frequência não nula têm média zero sobre um período inteiro. Formalmente, para qualquer
,
porque
integra para zero em um número inteiro de meios-períodos; como
é um período de
multiplicado por um inteiro, a integral se anula. Portanto, ao calcular a potência média só ficam os termos constantes.
Assim,
Assim,
Passo 8
Colocar o resultado numa forma factorizada que aparece no enunciado. Agrupando com um denominador comum
,
que é exatamente a expressão pedida.
Passo 9
Comentário didático rápido (como aplicar isso numa prova). Estratégia geral:
- Identifique que potências médias são médias de
. - Expanda o quadrado e use identidades trigonométricas simples:
e . - Observe que termos oscilantes de média zero desaparecem ao calcular a média; sobra apenas a soma das partes constantes.
Alternativa curta (às vezes mais elegante): representar cada cosseno por um fasor complexoe usar que a potência média de é . Somando fasores obtém-se o mesmo resultado: , que ao expandir dá a mesma fórmula.