Mostre que para ondas eletromagnéticas planas que sofrem reflexão e refração na interface entre dois dielétricos, se E0, E0^prime, e E0^prime prime são as amplitudes das ondas incidente, refratada, e refletida, respectivamente, Se E é paralelo ao plano de incidência
& E0^primeE0=2 n n^prime cos imumu^prime n^prime 2 cos i+n raizn^prime 2-n^2 sin ^2 i & E0^prime primeE0=mumu^prime n^prime 2 cos i-n raizn^prime 2-n^2 sin ^2 imumu^prime n^prime 2 cos i+n raizn^prime 2-n^2 sin ^2 i

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente “mostrar” as famosas fórmulas de Fresnel para ondas eletromagnéticas planas que incidem numa interface de dois dielétricos, com o campo elétrico vec E paralelo ao plano de incidência.
Conteúdo: reflexão/refração de ondas eletromagnéticas (Fresnel), limites de dois meios dielétricos (índices n, n' e permeabilidades mu, mu'), condições de contorno de Maxwell.
O que vamos usar:
  1. Condições de contorno para as componentes tangenciais de vec E e vec H na superfície.
  2. Relação entre amplitudes de vec E e vec H numa onda plana num dielétrico.
  3. Lei de Snell: nsin i = n'sin i'.

Passo 2

Aplicamos as condições de contorno na interface:
  1. Continuidade do campo elétrico tangencial:
E0 + E0'' = E0', tag1
2) Continuidade do campo magnético tangencial: se na região 1 temos Hi=tfracnmu c,E0 e Hr=tfracnmu c,E0'', e na região 2 Ht=tfracn'mu'c,E0', então, projetando tangencialmente:
Hicos i - Hrcos i = Htcos i',
Substituindo as relações H=tfracnmu cE
nmucos i,(E0 - E0'') ;=;n'mu'cos i';E0', tag2

Passo 3

Da lei de Snell nsin i = n'sin i' extraímos
$$\cos i’ = \sqrt{1-\sin^2 i’} = \sqrt{1-\Bigl(\tfrac{n}{n’}\sin i\Bigr)^2}
= \frac{\sqrt{,n’^2 - n2\sin2 i,}}{,n’},. $$
Agora temos tudo em termos de cos i' = raiz1-sin^2 i' = raiz1-l(tfracnn'sin ir)^2 = raiz,n'^2 - n^2sin^2 i,,n', , i, n, n', mu e as amplitudes mu'.

Passo 4

A gente resolve o sistema (1)–(2). Da (1) E0''=E0'-E0. Substituindo em (2):
$$\frac{n}{\mu}\cos i\bigl(2E_0 - E_0’\bigr)
=\frac{n’}{\mu’}\cos i’,E_0’,. nmucos il(2E0 - E0'r) =n'mu'cos i',E0',2,\frac{n}{\mu}\cos i
=\Bigl(\frac{n’}{\mu’}\cos i’ + \frac{n}{\mu}\cos i\Bigr)\frac{E_0’}{E_0}
\quad\Longrightarrow\quad
\frac{E_0’}{E_0}
=\frac{2,\frac{n}{\mu}\cos i}
{\frac{n’}{\mu’}\cos i’ + \frac{n}{\mu}\cos i},. E0'/E0\frac{E_0’}{E_0}
=\frac{2,n,n’,\cos i}
{\frac{\mu}{\mu’},n’^2\cos i
;+;n,\sqrt{,n’^2 - n2\sin2 i,}},. 2,nmucos i =l(n'mu'cos i' + nmucos ir)E0'E0 Longrightarrow E0'E0 =2,nmucos i n'mu'cos i' + nmucos i, ãçõá\frac{E_0’’}{E_0}
=\frac{\frac{\mu}{\mu’},n’^2\cos i
;-;n,\sqrt{,n’^2 - n2\sin2 i,}}
{\frac{\mu}{\mu’},n’^2\cos i
;+;n,\sqrt{,n’^2 - n2\sin2 i,}},. $$

Resposta

Mostramos que, para vec E paralelo ao plano de incidência,
$$
\boxed{
\frac{E_0’}{E_0}
=\frac{2,n,n’,\cos i}
{\displaystyle\frac{\mu}{\mu’},n’^2\cos i
;+;n,\sqrt{,n’^2 - n2\sin2 i,}}
\quad,\quad
\frac{E_0’’}{E_0}
=\frac{\displaystyle\frac{\mu}{\mu’},n’^2\cos i
;-;n,\sqrt{,n’^2 - n2\sin2 i,}}
{\displaystyle\frac{\mu}{\mu’},n’^2\cos i
;+;n,\sqrt{,n’^2 - n2\sin2 i,}}
},. $

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