Mostre que:
Se o operador linear
não é injetivo, tem apenas dois autovalores diferentes e se
e
são autovetores associados, respectivamente, aos dois autovalores então
e
são LD.
Se o operador linear
Passo 1
O enunciado afirma que
é um operador linear não injetivo que possui exatamente dois autovalores distintos, digamos
, e que
e
são autovetores associados, respectivamente, a
e
. Queremos mostrar que os vetores
e
são linearmente dependentes. Vamos usar a definição de operador não injetivo (
) e a definição de autovalor/autovetor (
).
Passo 2
Como
não é injetivo, existe algum vetor não-nulo
em
, ou seja,
Isto significa que
é autovalor de
. Mas o enunciado diz que há exatamente dois autovalores distintos, logo eles só podem ser
Passo 3
Pelas propriedades dos autovetores temos
Logo o par
contém o vetor zero, o que já garante que
e
são linearmente dependentes.
Resposta
Os vetores
e
são linearmente dependentes.