Mostre que:
Se o operador linear T não é injetivo, tem apenas dois autovalores diferentes e se u e v são autovetores associados, respectivamente, aos dois autovalores então T u e T v são LD.

Passo 1

O enunciado afirma que T é um operador linear não injetivo que possui exatamente dois autovalores distintos, digamos \lambda_1\neq\lambda_2, e que u e v são autovetores associados, respectivamente, a \lambda_1 e \lambda_2. Queremos mostrar que os vetores T u e T v são linearmente dependentes. Vamos usar a definição de operador não injetivo ( \ker(T)\neq\{0\}) e a definição de autovalor/autovetor ( T w=\lambda w).

Passo 2

Como T não é injetivo, existe algum vetor não-nulo w em \ker(T), ou seja,
T w = 0.
Isto significa que 0 é autovalor de T. Mas o enunciado diz que há exatamente dois autovalores distintos, logo eles só podem ser
\lambda_1 = 0 \quad\text{e}\quad \lambda_2 \neq 0.

Passo 3

Pelas propriedades dos autovetores temos
T u = \lambda_1\,u = 0\cdot u = 0,
T v = \lambda_2\,v \neq 0.
Logo o par \{T u,\,T v\} = \{0,\,\lambda_2 v\} contém o vetor zero, o que já garante que T u e T v são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores T u e T v são linearmente dependentes.

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