Mostre que:
Dois autovetores podem ser linearmente independentes, mas estarem associados ao mesmo autovalor.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que é possível ter dois autovetores v_1 e v_2 tais que
1. v_1 e v_2 são associados ao mesmo autovalor \lambda, e
2. v_1 e v_2 são linearmente independentes.
O conteúdo aqui é teoria de autovalores e autovetores: o conjunto de todos os autovetores associados a \lambda forma um subespaço vetorial (o autespaço), cujo dimensionamento pode ser maior que 1 quando \lambda tem multiplicidade geométrica maior que 1.

Passo 2

Para dar um exemplo explícito, considere a matriz identidade de ordem 2,
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Nesse caso, para todo vetor não-nulo v\in\mathbb{R}^2 vale
A\,v = v = 1\cdot v,
ou seja, cada vetor não-nulo é autovetor associado ao autovalor \lambda = 1. Portanto, o autespaço de \lambda=1 é todo \mathbb{R}^2, que tem dimensão 2.

Passo 3

Escolha dois vetores canônicos em \mathbb{R}^2:
v_1 = \begin{pmatrix}1\\[3pt]0\end{pmatrix}, \qquad v_2 = \begin{pmatrix}0\\[3pt]1\end{pmatrix}.
Calcule
A\,v_1 = \begin{pmatrix}1&0\\[3pt]0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[3pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[3pt]0\end{pmatrix} = 1\cdot v_1,
A\,v_2 = \begin{pmatrix}1&0\\[3pt]0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\[3pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\[3pt]1\end{pmatrix} = 1\cdot v_2.
Logo, v_1 e v_2 são autovetores de A com autovalor \lambda=1.]

Passo 4

Para verificar a independência linear, note que a única combinação
\alpha\,v_1 + \beta\,v_2 = 0
é
\alpha \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; \alpha = 0,\;\beta=0.
Portanto, v_1 e v_2 são linearmente independentes.

Passo 5

Concluímos que, no mesmo autovalor \lambda=1, existem pelo menos dois autovetores independentes, pois o autespaço de \lambda tem dimensão 2. Isso mostra exatamente que dois autovetores podem ser linearmente independentes e pertencer ao mesmo autovalor.

Resposta

Um exemplo concreto é A=I_2, \lambda=1,
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},
que são autovetores independentes associados ao mesmo autovalor \lambda=1.

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