Mostre que:
Dois autovetores podem ser linearmente independentes, mas estarem associados ao mesmo autovalor.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que é possível ter dois autovetores v_1 e v_2 tais que 1. v_1 e v_2 são associados ao mesmo autovalor \lambda, e 2. v_1 e v_2 são linearmente independentes.
O conteúdo aqui é teoria de autovalores e autovetores: o conjunto de todos os autovetores associados a \lambda forma um subespaço vetorial (o autespaço), cujo dimensionamento pode ser maior que 1 quando \lambda tem multiplicidade geométrica maior que 1.
Passo 2
Para dar um exemplo explícito, considere a matriz identidade de ordem 2,
A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Nesse caso, para todo vetor não-nulo v\in\mathbb{R}^2 vale
A\,v = v = 1\cdot v,
ou seja, cada vetor não-nulo é autovetor associado ao autovalor \lambda = 1. Portanto, o autespaço de \lambda=1 é todo \mathbb{R}^2, que tem dimensão 2.
Portanto, v_1 e v_2 são linearmente independentes.
Passo 5
Concluímos que, no mesmo autovalor \lambda=1, existem pelo menos dois autovetores independentes, pois o autespaço de \lambda tem dimensão 2. Isso mostra exatamente que dois autovetores podem ser linearmente independentes e pertencer ao mesmo autovalor.