Mostre que
\operatorname{cosh} z+\operatorname{cosh} w=2 \operatorname{cosh} \left(\frac{z+w}{2}\right) \operatorname{cosh} \left(\frac{z-w}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede que mostremos a identidade \operatorname{cosh} z+\operatorname{cosh} w=2\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{z+w}{2}\bigr)\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{z-w}{2}\bigr).
O conteúdo usado será a definição de \operatorname{cosh} em termos de exponenciais e propriedades de fatoração de somas de exponenciais.

Passo 2

Recordando a definição de \operatorname{cosh}, temos
\operatorname{cosh} z = \frac{e^z + e^{-z}}{2}, \qquad \operatorname{cosh} w = \frac{e^w + e^{-w}}{2}.

Passo 3

Somando essas expressões, obtemos
\operatorname{cosh} z + \operatorname{cosh} w = \frac{e^z + e^{-z} + e^w + e^{-w}}{2}.

Passo 4

Agora fatoramos os pares de exponenciais:
e^z + e^w = e^{\frac{z+w}{2}}\bigl(e^{\frac{z-w}{2}} + e^{-\frac{z-w}{2}}\bigr) = 2\,e^{\frac{z+w}{2}}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{z-w}{2}\bigr),
e^{-z} + e^{-w} = e^{-\frac{z+w}{2}}\bigl(e^{-\frac{z-w}{2}} + e^{\frac{z-w}{2}}\bigr) = 2\,e^{-\frac{z+w}{2}}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{z-w}{2}\bigr).

Passo 5

Substituindo essas fatorações em \operatorname{cosh} z+\operatorname{cosh} w, vem
\operatorname{cosh} z + \operatorname{cosh} w = \frac{2e^{\frac{z+w}{2}}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{z-w}{2}\bigr) +2e^{-\frac{z+w}{2}}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{z-w}{2}\bigr)}{2} = \operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{z-w}{2}\bigr)\bigl(e^{\tfrac{z+w}{2}}+e^{-\tfrac{z+w}{2}}\bigr) = 2\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{z+w}{2}\bigr)\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{z-w}{2}\bigr).

Resposta

\operatorname{cosh} z+\operatorname{cosh} w=2\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{z+w}{2}\bigr)\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{z-w}{2}\bigr).

Exercícios relacionados