Mostre que
\operatorname{coth}^{2} z-\operatorname{csch}^{2} z=1

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a identidade envolvendo as funções hiperbólicas \coth z e \csch z:
\coth^{2}z-\csch^{2}z=1.
O conteúdo necessário é a definição dessas funções e a identidade fundamental das funções hiperbólicas.

Passo 2

Lembramos as definições:
\coth z = \frac{\operatorname{cosh} z}{\operatorname{sinh} z}, \qquad \csch z = \frac{1}{\operatorname{sinh} z}.

Passo 3

Substituindo na expressão desejada:
\coth^{2}z - \csch^{2}z = \biggl(\frac{\operatorname{cosh} z}{\operatorname{sinh} z}\biggr)^{2} - \biggl(\frac{1}{\operatorname{sinh} z}\biggr)^{2} = \frac{\operatorname{cosh}^{2}z - 1}{\operatorname{sinh}^{2}z}.

Passo 4

Usamos a identidade fundamental das hiperbólicas,
\operatorname{cosh}^{2}z - \operatorname{sinh}^{2}z = 1 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{cosh}^{2}z - 1 = \operatorname{sinh}^{2}z.
Logo,
\frac{\operatorname{cosh}^{2}z - 1}{\operatorname{sinh}^{2}z} = \frac{\operatorname{sinh}^{2}z}{\operatorname{sinh}^{2}z} = 1.

Resposta

\coth^{2}z - \csch^{2}z = 1.

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