Mostre que
\cos (i z)=\operatorname{cosh} z ou equivalentemente, \operatorname{cosh} (i z)=\cos z

Passo 1

Queremos mostrar que
\cos(i z)=\operatorname{cosh} z
ou, de forma equivalente,
\operatorname{cosh}(i z)=\cos z.
Para isso, vamos usar as definições em termos de exponenciais complexas.

Passo 2

Lembrando que para um argumento genérico w definimos
\cos w = \frac{e^{i w} + e^{-i w}}{2}
e para um argumento genérico z definimos
\operatorname{cosh} z = \frac{e^{z} + e^{-z}}{2}.

Passo 3

Substituindo w=i z na definição de \cos w, obtemos
\cos(i z) = \frac{e^{\,i(i z)} + e^{-\,i(i z)}}{2} = \frac{e^{-z} + e^{z}}{2} = \operatorname{cosh} z.

Passo 4

De modo análogo, substituindo z por i z na definição de \operatorname{cosh} z, vem
\operatorname{cosh}(i z) = \frac{e^{\,i z} + e^{-\,i z}}{2} = \cos z.

Resposta

Portanto fica demonstrado que
\cos(i z)=\operatorname{cosh} z \quad\text{e}\quad \operatorname{cosh}(i z)=\cos z.

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