Mostre que
\operatorname{sinh} (z \pm w)=\operatorname{sinh} z \operatorname{cosh} w \pm \operatorname{sinh} w \operatorname{cosh} z

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a fórmula de adição para a função hiperbólica \operatorname{sinh}, ou seja,
\operatorname{sinh}(z\pm w)=\operatorname{sinh} z\operatorname{cosh} w\pm\operatorname{sinh} w\operatorname{cosh} z.
Para isso vamos usar as definições de \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} em termos de exponenciais.

Passo 2

Recordando as definições:
\operatorname{sinh} u = \frac{e^{u} - e^{-u}}{2}, \qquad \operatorname{cosh} u = \frac{e^{u} + e^{-u}}{2}.
Elas valem para qualquer número complexo u.

Passo 3

Aplique a definição em u = z\pm w:
\operatorname{sinh}(z\pm w) = \frac{e^{\,z\pm w} - e^{-(z\pm w)}}{2} = \frac{e^{z}e^{\pm w} - e^{-z}e^{\mp w}}{2}.

Passo 4

Agora separe os termos de forma a montar \operatorname{sinh} z\,\operatorname{cosh} w e \operatorname{cosh} z\,\operatorname{sinh} w:
\frac{e^{z}e^{\pm w} - e^{-z}e^{\mp w}}{2} = \frac{1}{2}\Bigl(e^{z}e^{w}-e^{-z}e^{-w}\Bigr)\quad\text{ou}\quad\frac{1}{2}\Bigl(e^{z}e^{-w}-e^{-z}e^{w}\Bigr).
No caso do sinal + temos
\frac{e^{z}e^{w}-e^{-z}e^{-w}}{2} =\biggl(\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}\biggr)\biggl(\frac{e^{w}+e^{-w}}{2}\biggr) +\biggl(\frac{e^{w}-e^{-w}}{2}\biggr)\biggl(\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}\biggr) =\operatorname{sinh} z\,\operatorname{cosh} w + \operatorname{sinh} w\,\operatorname{cosh} z.
E no caso do sinal - sai exatamente
\operatorname{sinh}(z - w)=\operatorname{sinh} z\,\operatorname{cosh} w - \operatorname{sinh} w\,\operatorname{cosh} z.

Resposta

\operatorname{sinh}(z\pm w)=\operatorname{sinh} z\,\operatorname{cosh} w\pm\operatorname{sinh} w\,\operatorname{cosh} z.

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