Mostre que:
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que, para qualquer número complexo
,
Informações dadas/implícitas: a função
é a tangente hiperbólica, e
pode ser considerado um número complexo qualquer. Não há outros dados numéricos no enunciado.
Passo 2
Definir as funções hiperbólicas em termos da exponencial — isso é essencial para manipular o argumento complexo. Para todo
vale:
e, por definição,
Aqui
é a exponencial complexa e as fórmulas acima são válidas sem restrição.
Passo 3
Relembrar propriedades básicas da exponencial complexa que vamos usar:
- Para quaisquer
vale . - A fórmula de Euler dá
para . Em particular,
Portanto
e, usando a propriedade de soma do expoente,
.
Passo 4
Calcular
e
no argumento
usando as definições e a propriedade
.
Primeiro,
pois
.
Agora substituindo nas definições:
e
Passo 5
Agora usar que
é a razão
. Substituindo os resultados do passo anterior:
O sinal negativo cancela no numerador e no denominador, ficando exatamente a expressão de
.
Observação sobre domínio:
está definida sempre que
. Se
então também
, ou seja, ambos os lados são simultaneamente indefinidos; como identidade de funções meromorfas a igualdade acima vale para todos os
(onde for interpretada).
Passo 6
Resumo da ideia: ao adicionar
ao argumento, as exponenciais
e
recebem fator
, fazendo com que
e
mudem de sinal simultaneamente; a razão
permanece inalterada. Isso prova a igualdade pedida.