Mostre que:
\operatorname{tanh} (z+\pi i)=\operatorname{tanh} z

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, para qualquer número complexo z,
\operatorname{tanh}\bigl(z+\pi i\bigr)=\operatorname{tanh} z.
Informações dadas/implícitas: a função \operatorname{tanh} é a tangente hiperbólica, e z pode ser considerado um número complexo qualquer. Não há outros dados numéricos no enunciado.

Passo 2

Definir as funções hiperbólicas em termos da exponencial — isso é essencial para manipular o argumento complexo. Para todo w\in\mathbb{C} vale:
\operatorname{sinh} w=\frac{e^{w}-e^{-w}}{2}, \qquad \operatorname{cosh} w=\frac{e^{w}+e^{-w}}{2},
e, por definição,
\operatorname{tanh} w=\frac{\operatorname{sinh} w}{\operatorname{cosh} w}=\frac{e^{w}-e^{-w}}{e^{w}+e^{-w}}.
Aqui e^{w} é a exponencial complexa e as fórmulas acima são válidas sem restrição.

Passo 3

Relembrar propriedades básicas da exponencial complexa que vamos usar:
  • Para quaisquer a,b\in\mathbb{C} vale \,e^{a+b}=e^{a}e^{b}\,.
  • A fórmula de Euler dá \,e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta\, para \theta\in\mathbb{R}. Em particular,
e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1.
Portanto e^{i\pi}=-1 e, usando a propriedade de soma do expoente, e^{z+i\pi}=e^{z}e^{i\pi}=-e^{z}.

Passo 4

Calcular \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} no argumento z+i\pi usando as definições e a propriedade e^{i\pi}=-1.
Primeiro,
e^{\,z+i\pi}=e^{z}e^{i\pi}=-e^{z}, \qquad e^{-\,\bigl(z+i\pi\bigr)}=e^{-z}e^{-i\pi}=e^{-z}e^{i\pi}=-e^{-z},
pois e^{-i\pi}=e^{i\pi}=-1.
Agora substituindo nas definições:
\operatorname{sinh}\bigl(z+i\pi\bigr)=\frac{e^{z+i\pi}-e^{-(z+i\pi)}}{2} =\frac{-e^{z}-(-e^{-z})}{2} =\frac{-e^{z}+e^{-z}}{2} =-\frac{e^{z}-e^{-z}}{2} =-\operatorname{sinh} z,
e
\operatorname{cosh}\bigl(z+i\pi\bigr)=\frac{e^{z+i\pi}+e^{-(z+i\pi)}}{2} =\frac{-e^{z}+(-e^{-z})}{2} =-\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} =-\operatorname{cosh} z.

Passo 5

Agora usar que \operatorname{tanh} é a razão \operatorname{sinh}/\operatorname{cosh}. Substituindo os resultados do passo anterior:
\operatorname{tanh}\bigl(z+i\pi\bigr) =\frac{\operatorname{sinh}\bigl(z+i\pi\bigr)}{\operatorname{cosh}\bigl(z+i\pi\bigr)} =\frac{-\operatorname{sinh} z}{-\,\operatorname{cosh} z} =\frac{\operatorname{sinh} z}{\operatorname{cosh} z}.
O sinal negativo cancela no numerador e no denominador, ficando exatamente a expressão de \operatorname{tanh} z.
Observação sobre domínio: \operatorname{tanh} w está definida sempre que \operatorname{cosh} w\neq 0. Se \operatorname{cosh} z=0 então também \operatorname{cosh}(z+i\pi)=-\operatorname{cosh} z=0, ou seja, ambos os lados são simultaneamente indefinidos; como identidade de funções meromorfas a igualdade acima vale para todos os z (onde for interpretada).

Passo 6

Resumo da ideia: ao adicionar i\pi ao argumento, as exponenciais e^{z} e e^{-z} recebem fator -1, fazendo com que \operatorname{sinh} e \operatorname{cosh} mudem de sinal simultaneamente; a razão \operatorname{sinh}/\operatorname{cosh} permanece inalterada. Isso prova a igualdade pedida.

Resposta

\operatorname{tanh}\bigl(z+\pi i\bigr)=\operatorname{tanh} z

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