QUESTÃO 4 ( \mathbf{2 , 0} pontos): Responda:
a) (0,5) Qual a importância das linhas de corrente de um escoamento?
b) (0,5) O campo de velocidade dado por \vec{\nabla}=a x \hat{\imath}+b y t \hat{\jmath} é uni, bi outridimensional? Por quê? O escoamento é em regime permanente ou transiente? Por quê?
c) (1,0) Determine as equações de linha de corrente e trajetórias para o campo da letra b).

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá um campo de velocidade. Vou listar claramente o que é pedido e quais dados temos.
  • Perguntas:
    (a) Qual a importância das linhas de corrente de um escoamento?
    (b) Para o campo \vec{v}=a x \hat{\imath}+b y t \hat{\jmath}: o escoamento é uni-, bi- ou tridimensional? O escoamento é em regime permanente ou transiente? Justifique.
    (c) Determinar as equações de linhas de corrente e as equações das trajetórias para o mesmo campo.
  • Dados do enunciado (assumi que o que foi indicado como \vec{\nabla} é, na verdade, o campo de velocidade)
    \vec{v}(x,y,t)=a x\,\hat{\imath}+b y t\,\hat{\jmath},
    onde a e b são constantes e t é o tempo. Não há componente na direção \hat{k}.

Passo 2

O que são linhas de corrente e por que elas importam — explicação didática e intuitiva.
  • Definição (intuitiva): uma linha de corrente é uma curva no espaço cuja tangente em cada ponto aponta na mesma direção da velocidade do fluido naquele instante. Ou seja, se você colocar uma pequenina seta tangente à curva, ela coincide com a direção do vetor velocidade no ponto.
  • Importância prática:
    • Visualizam instantaneamente a direção do escoamento em um instante fixo de tempo — são o “mapa” da direção do fluxo naquele tempo.
    • Ajudam a identificar regiões de recirculação, zonas onde o fluxo se comprime/expande, possíveis separações de camada limite etc.
    • Em escoamentos estacionários (regime permanente) as linhas de corrente coincidem com as trajetórias das partículas — então seguem-se as linhas para saber pra onde as partículas vão.
    • Em escoamentos não estacionários (transientes) as linhas de corrente mudam com o tempo, daí não dizem sozinho o caminho real que uma partícula vai seguir — para isso precisa-se da trajetória (pathline).
  • Propriedade útil: a equação das linhas de corrente é obtida impondo que a derivada da curva espacial seja paralela ao vetor velocidade no instante considerado; isso vira uma equação diferencial simples que veremos aplicar.

Passo 3

Classificação do escoamento (uni/bi/tridimensional) e regime (permanente/transiente) — raciocínio passo a passo.
  • Observando o campo \vec{v}(x,y,t)=a x\,\hat{\imath}+b y t\,\hat{\jmath},há apenas componentes nas direções \hat{\imath} e \hat{\jmath}; não há componente na direção \hat{k}.
    • Logo, o escoamento é bidimensional (\emph{bi}dimensional), porque a velocidade só depende de x,y,t e tem apenas as duas componentes v_x e v_y.
  • Sobre regime permanente versus transiente:
    • Um escoamento é permanente (estacionário) se o campo velocidade não depende explicitamente do tempo t.
    • Aqui a componente v_y=b y t depende explicitamente de t (multiplicando y). Portanto o campo varia com o tempo.
    • Logo, o escoamento é transiente (não estacionário).

Passo 4

Como obter matematicamente as linhas de corrente — ideia e equação diferencial.
  • Regra geral: linhas de corrente no instante fixo t satisfazem que a inclinação da curva \dfrac{dy}{dx} é igual à razão entre as componentes da velocidade naquele instante: \frac{dy}{dx}=\frac{v_y(x,y,t)}{v_x(x,y,t)}\quad\text{(para \(t\) fixo).}Esta é a equação diferencial que, resolvida para uma dada t, dá as linhas de corrente naquele instante.

Passo 5

Cálculo explícito das linhas de corrente para o campo dado.
  • Substituindo v_x=a x e v_y=b y t na fórmula: \frac{dy}{dx}=\frac{b y t}{a x}.
  • Esta é uma equação separável. Passos da resolução: \frac{1}{y}\,dy=\frac{b t}{a}\,\frac{1}{x}\,dx.Integrando ambos os lados (para um mesmo tempo t fixo): \int\frac{1}{y}\,dy=\int\frac{b t}{a}\,\frac{1}{x}\,dx
\ln y=\frac{b t}{a}\ln x + C,
onde C é constante de integração (essa constante identifica a linha de corrente particular naquele instante).
  • Exponenciando: y = C'\,x^{\frac{b t}{a}},em que C'=e^{C}. Portanto, para um tempo fixo t, as linhas de corrente são curvas do tipo \boxed{\,y=K\,x^{\frac{b t}{a}}\,,\quad K\in\mathbb{R}\,}Observação importante: como o expoente contém t, a forma geométrica das linhas de corrente muda com o tempo — característica de escoamento transiente.

Passo 6

O que são trajetórias (pathlines) e como se obtêm — definição e equações fundamentais.
  • Definição: trajetória de uma partícula é a curva descrita por uma partícula fluida que passa por uma posição inicial (x_0,y_0) no instante t_0. É a solução das equações diferenciais ordinárias que governam o movimento material: \frac{dx}{dt}=v_x(x,y,t),\qquad \frac{dy}{dt}=v_y(x,y,t),com condições iniciais x(t_0)=x_0, y(t_0)=y_0.
  • Em escoamentos não estacionários as trajetórias geralmente diferem das linhas de corrente instantâneas.

Passo 7

Resolução da equação para x(t): passo a passo.
  • Para o nosso campo, a equação para x é \frac{dx}{dt}=a x.
  • Esta é uma equação diferencial linear separável (equação exponencial). Separe e integre: \frac{1}{x}\,dx=a\,dt.Integrando de t_0 a t e de x_0 a x(t): \ln\frac{x(t)}{x_0}=a\,(t-t_0).Exponenciando: \boxed{\,x(t)=x_0\,e^{a(t-t_0)}\,.}

Passo 8

Resolução da equação para y(t): passo a passo.
  • A equação para y é \frac{dy}{dt}=b t\,y.
  • Também é separável: \frac{1}{y}\,dy=b t\,dt.Integrando de t_0 a t: \ln\frac{y(t)}{y_0}=\int_{t_0}^{t} b s\,ds = \frac{b}{2}\bigl(t^2-t_0^2\bigr).Exponenciando: \boxed{\,y(t)=y_0\exp\!\left(\frac{b}{2}\bigl(t^2-t_0^2\bigr)\right)\,.}
  • Assim a trajetória de uma partícula inicial (x_0,y_0) no instante t_0 é dada pelas duas expressões obtidas em conjunto.

Passo 9

Interpretação final das equações de trajetória e relação com as linhas de corrente.
  • Trajetórias paramétricas (pathlines) com condição inicial (x_0,y_0) em t=t_0: x(t)=x_0\,e^{a(t-t_0)},\qquad y(t)=y_0\exp\!\left(\frac{b}{2}\bigl(t^2-t_0^2\bigr)\right).
  • Observações:
    • Para t_0=0 (se escolhermos esse instante inicial), simplifica para x(t)=x_0 e^{a t} e y(t)=y_0 e^{(b/2)t^2}.
    • As linhas de corrente no instante t são y=K x^{\frac{b t}{a}}. Em geral, por conta da dependência explícita em t, linhas de corrente e trajetórias não coincidem (a menos que b=0 ou que o campo fosse estacionário).

Resposta

(a) Linhas de corrente mostram, em um mesmo instante, a direção do vetor velocidade em cada ponto: servem para visualizar o padrão instantâneo do escoamento, identificar zonas de recirculação e orientação do fluxo; em escoamentos estacionários coincidem com as trajetórias e, portanto, indicam os caminhos seguidos pelas partículas.
(b) Bidimensional, porque só há componentes \hat{\imath} e \hat{\jmath} ( \vec{v} não tem componente em \hat{k}). Transiente (não permanente), porque a componente v_y=b y t depende explicitamente de t.
(c) Linhas de corrente (para tempo fixo t):
y=K\,x^{\frac{b t}{a}},\quad K\in\mathbb{R}.
Trajetórias (partícula com x(t_0)=x_0,\;y(t_0)=y_0):
x(t)=x_0\,e^{a(t-t_0)},\qquad y(t)=y_0\exp\!\left(\frac{b}{2}\bigl(t^2-t_0^2\bigr)\right).

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