QUESTÃO 4 (
pontos): Responda:
a)
Qual a importância das linhas de corrente de um escoamento?
b)
O campo de velocidade dado por
é uni, bi outridimensional? Por quê? O escoamento é em regime permanente ou transiente? Por quê?
c)
Determine as equações de linha de corrente e trajetórias para o campo da letra b).
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede três coisas e nos dá um campo de velocidade. Vou listar claramente o que é pedido e quais dados temos.
-
Perguntas:
(a) Qual a importância das linhas de corrente de um escoamento?
(b) Para o campo: o escoamento é uni-, bi- ou tridimensional? O escoamento é em regime permanente ou transiente? Justifique.
(c) Determinar as equações de linhas de corrente e as equações das trajetórias para o mesmo campo. -
Dados do enunciado (assumi que o que foi indicado como
é, na verdade, o campo de velocidade) ondee são constantes e é o tempo. Não há componente na direção .
Passo 2
O que são linhas de corrente e por que elas importam — explicação didática e intuitiva.
- Definição (intuitiva): uma linha de corrente é uma curva no espaço cuja tangente em cada ponto aponta na mesma direção da velocidade do fluido naquele instante. Ou seja, se você colocar uma pequenina seta tangente à curva, ela coincide com a direção do vetor velocidade no ponto.
- Importância prática:
- Visualizam instantaneamente a direção do escoamento em um instante fixo de tempo — são o “mapa” da direção do fluxo naquele tempo.
- Ajudam a identificar regiões de recirculação, zonas onde o fluxo se comprime/expande, possíveis separações de camada limite etc.
- Em escoamentos estacionários (regime permanente) as linhas de corrente coincidem com as trajetórias das partículas — então seguem-se as linhas para saber pra onde as partículas vão.
- Em escoamentos não estacionários (transientes) as linhas de corrente mudam com o tempo, daí não dizem sozinho o caminho real que uma partícula vai seguir — para isso precisa-se da trajetória (pathline).
- Propriedade útil: a equação das linhas de corrente é obtida impondo que a derivada da curva espacial seja paralela ao vetor velocidade no instante considerado; isso vira uma equação diferencial simples que veremos aplicar.
Passo 3
Classificação do escoamento (uni/bi/tridimensional) e regime (permanente/transiente) — raciocínio passo a passo.
- Observando o campo
há apenas componentes nas direções e ; não há componente na direção . - Logo, o escoamento é bidimensional (\emph{bi}dimensional), porque a velocidade só depende de
e tem apenas as duas componentes e .
- Logo, o escoamento é bidimensional (\emph{bi}dimensional), porque a velocidade só depende de
- Sobre regime permanente versus transiente:
- Um escoamento é permanente (estacionário) se o campo velocidade não depende explicitamente do tempo
. - Aqui a componente
depende explicitamente de (multiplicando ). Portanto o campo varia com o tempo. - Logo, o escoamento é transiente (não estacionário).
- Um escoamento é permanente (estacionário) se o campo velocidade não depende explicitamente do tempo
Passo 4
Como obter matematicamente as linhas de corrente — ideia e equação diferencial.
- Regra geral: linhas de corrente no instante fixo
satisfazem que a inclinação da curva é igual à razão entre as componentes da velocidade naquele instante: Esta é a equação diferencial que, resolvida para uma dada , dá as linhas de corrente naquele instante.
Passo 5
Cálculo explícito das linhas de corrente para o campo dado.
- Substituindo
e na fórmula: - Esta é uma equação separável. Passos da resolução:
Integrando ambos os lados (para um mesmo tempo fixo):
onde
é constante de integração (essa constante identifica a linha de corrente particular naquele instante).
- Exponenciando:
em que . Portanto, para um tempo fixo , as linhas de corrente são curvas do tipo Observação importante: como o expoente contém , a forma geométrica das linhas de corrente muda com o tempo — característica de escoamento transiente.
Passo 6
O que são trajetórias (pathlines) e como se obtêm — definição e equações fundamentais.
- Definição: trajetória de uma partícula é a curva descrita por uma partícula fluida que passa por uma posição inicial
no instante . É a solução das equações diferenciais ordinárias que governam o movimento material: com condições iniciais , . - Em escoamentos não estacionários as trajetórias geralmente diferem das linhas de corrente instantâneas.
Passo 7
Resolução da equação para
: passo a passo.
- Para o nosso campo, a equação para
é - Esta é uma equação diferencial linear separável (equação exponencial). Separe e integre:
Integrando de a e de a : Exponenciando:
Passo 8
Resolução da equação para
: passo a passo.
- A equação para
é - Também é separável:
Integrando de a : Exponenciando: - Assim a trajetória de uma partícula inicial
no instante é dada pelas duas expressões obtidas em conjunto.
Passo 9
Interpretação final das equações de trajetória e relação com as linhas de corrente.
- Trajetórias paramétricas (pathlines) com condição inicial
em : - Observações:
- Para
(se escolhermos esse instante inicial), simplifica para e . - As linhas de corrente no instante
são . Em geral, por conta da dependência explícita em , linhas de corrente e trajetórias não coincidem (a menos que ou que o campo fosse estacionário).
- Para
Resposta
(a) Linhas de corrente mostram, em um mesmo instante, a direção do vetor velocidade em cada ponto: servem para visualizar o padrão instantâneo do escoamento, identificar zonas de recirculação e orientação do fluxo; em escoamentos estacionários coincidem com as trajetórias e, portanto, indicam os caminhos seguidos pelas partículas.
(b) Bidimensional, porque só há componentes e
(
não tem componente em
). Transiente (não permanente), porque a componente
depende explicitamente de
.
(c) Linhas de corrente (para tempo fixo ):
(b) Bidimensional, porque só há componentes
(c) Linhas de corrente (para tempo fixo
Trajetórias (partícula com
):