Mostre que:
, se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a desigualdade
para
com
reais. As informações dadas são:
-
com . - Queremos comparar o módulo da função hiperbólica complexa
com e com .
Passo 2
Vou recordar definições e fórmulas úteis (passo-a-passo, sem pressupor nada):
- A função exponencial complexa satisfaz
para . - A função cosseno hiperbólica e seno hiperbólico são definidas por
válidas para
.
- Para
, e são números reais. Em particular e é não negativa. - O módulo de um número complexo
é . Assim,
Passo 3
Calcular a forma real e imaginária de
usando
. Usando a definição exponencial:
Somando e dividindo por
,
Reagrupando as partes real e imaginária obtemos a identidade (muito útil):
Aqui expliquei cada termo:
e
, ambos reais.
Passo 4
Calcular o quadrado do módulo de
e simplificar:
Agora uso a identidade hiperbólica básica (mostro-a rapidamente): a partir das definições,
Essa identidade vale para todo
.
Com isso, verifico a desigualdade inferior. Considere
Pela identidade
isso dá
Logo
, e tomando raízes não negativas segue
(Isto prova o primeiro membro da desigualdade.)
Passo 5
Agora a desigualdade superior. Calculo
Novamente usando
, obtemos
Portanto
. Como
, ao tomar raízes segue
Passo 6
Juntando os resultados dos passos anteriores, concluímos que para
com
vale
Isto é exatamente a desigualdade pedida. (Fim da demonstração — se estiver cansado: respira fundo, está ótimo!)