Mostre que:
|\operatorname{sinh} x| \leq|\operatorname{cosh} z| \leq \operatorname{cosh} x|, se z=x+i y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a desigualdade
|\operatorname{sinh} x| \leq |\operatorname{cosh} z| \leq \operatorname{cosh} x,
para z = x + i y com x,y reais. As informações dadas são:
  • z = x + i y com x,y\in\mathbb{R}.
  • Queremos comparar o módulo da função hiperbólica complexa \operatorname{cosh} z com \operatorname{sinh} x e com \operatorname{cosh} x.

Passo 2

Vou recordar definições e fórmulas úteis (passo-a-passo, sem pressupor nada):
  • A função exponencial complexa satisfaz e^{x+iy}=e^{x}(\cos y + i\sin y) para x,y\in\mathbb{R}.
  • A função cosseno hiperbólica e seno hiperbólico são definidas por
\operatorname{cosh} w = \frac{e^{w}+e^{-w}}{2},\qquad \operatorname{sinh} w = \frac{e^{w}-e^{-w}}{2},
válidas para w\in\mathbb{C}.
  • Para w=x\in\mathbb{R}, \operatorname{sinh} x e \operatorname{cosh} x são números reais. Em particular \operatorname{cosh} x\ge 1 e é não negativa.
  • O módulo de um número complexo a+ib é |a+ib|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}. Assim,
|a+ib|^{2}=a^{2}+b^{2}.

Passo 3

Calcular a forma real e imaginária de \operatorname{cosh} z usando z=x+iy. Usando a definição exponencial:
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y + i\sin y), \qquad e^{-z}=e^{-x-iy}=e^{-x}(\cos y - i\sin y).
Somando e dividindo por 2,
\operatorname{cosh} z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2}= \frac{e^{x}(\cos y + i\sin y)+e^{-x}(\cos y - i\sin y)}{2}.
Reagrupando as partes real e imaginária obtemos a identidade (muito útil):
\operatorname{cosh} z = \operatorname{cosh} x\cos y + i\,\operatorname{sinh} x\sin y.
Aqui expliquei cada termo: \operatorname{cosh} x=(e^{x}+e^{-x})/2 e \operatorname{sinh} x=(e^{x}-e^{-x})/2, ambos reais.

Passo 4

Calcular o quadrado do módulo de \operatorname{cosh} z e simplificar:
|\operatorname{cosh} z|^{2} = (\operatorname{cosh} x\cos y)^{2}+(\operatorname{sinh} x\sin y)^{2} = \operatorname{cosh}^{2}x\cos^{2}y+\operatorname{sinh}^{2}x\sin^{2}y.
Agora uso a identidade hiperbólica básica (mostro-a rapidamente): a partir das definições,
\operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x=\left(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right)^{2}-\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^{2}=1.
Essa identidade vale para todo x\in\mathbb{R}.
Com isso, verifico a desigualdade inferior. Considere
|\operatorname{cosh} z|^{2}-\operatorname{sinh}^{2}x = \operatorname{cosh}^{2}x\cos^{2}y+\operatorname{sinh}^{2}x\sin^{2}y-\operatorname{sinh}^{2}x = \cos^{2}y(\operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x).
Pela identidade \operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x=1 isso dá
|\operatorname{cosh} z|^{2}-\operatorname{sinh}^{2}x=\cos^{2}y\ge 0.
Logo |\operatorname{cosh} z|^{2}\ge \operatorname{sinh}^{2}x, e tomando raízes não negativas segue
|\operatorname{cosh} z|\ge |\operatorname{sinh} x|.
(Isto prova o primeiro membro da desigualdade.)

Passo 5

Agora a desigualdade superior. Calculo
\operatorname{cosh}^{2}x-|\operatorname{cosh} z|^{2} = \operatorname{cosh}^{2}x - \big(\operatorname{cosh}^{2}x\cos^{2}y+\operatorname{sinh}^{2}x\sin^{2}y\big) = \sin^{2}y(\operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x).
Novamente usando \operatorname{cosh}^{2}x-\operatorname{sinh}^{2}x=1, obtemos
\operatorname{cosh}^{2}x-|\operatorname{cosh} z|^{2}=\sin^{2}y\ge 0.
Portanto |\operatorname{cosh} z|^{2}\le \operatorname{cosh}^{2}x. Como \operatorname{cosh} x\ge 0, ao tomar raízes segue
|\operatorname{cosh} z| \le \operatorname{cosh} x.

Passo 6

Juntando os resultados dos passos anteriores, concluímos que para z=x+iy com x,y\in\mathbb{R} vale
|\operatorname{sinh} x|\le |\operatorname{cosh} z| \le \operatorname{cosh} x.
Isto é exatamente a desigualdade pedida. (Fim da demonstração — se estiver cansado: respira fundo, está ótimo!)

Resposta

|\operatorname{sinh} x| \leq |\operatorname{cosh} z| \leq \operatorname{cosh} x

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