Mostre que para pequenas variações de temperatura, a variação volumétrica de um sólido, devido à dilatação térmica, é dada por
, onde
é o coeficiente de dilatação linear e
o volume à temperatura inicial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, para pequenas mudanças de temperatura, a variação no volume de um sólido devido à dilatação térmica é dada por
. Aqui,
é o coeficiente de dilatação linear e
é o volume inicial do sólido. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dilatação linear e como ela afeta o volume de um objeto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é dilatação linear. Quando a temperatura de um sólido aumenta, suas dimensões lineares (comprimento, largura, altura) aumentam proporcionalmente à temperatura. A fórmula para a dilatação linear é:
onde
é a variação no comprimento,
é o comprimento inicial,
é o coeficiente de dilatação linear e
é a variação de temperatura.
Passo 3
Agora, vamos pensar no volume do sólido. Se o sólido é cúbico, por exemplo, o volume inicial
é dado por:
onde
,
e
são o comprimento, largura e altura iniciais, respectivamente.
Passo 4
Com a dilatação linear, cada uma dessas dimensões vai aumentar. Então, o novo comprimento será
, e o mesmo vale para a largura e a altura:
Passo 5
O novo volume
do sólido após a dilatação é então:
Passo 6
Multiplicando essas expressões, temos:
Como estamos considerando pequenas variações de temperatura, podemos aproximar
(usando o binômio de Newton e ignorando termos de ordem maior que
).
Passo 7
Substituindo na expressão do volume:
A variação de volume
é a diferença entre o volume final e o inicial:
Resposta
Portanto, mostramos que
para pequenas variações de temperatura.