Mostre que para pequenas variações de temperatura, a variação volumétrica de um sólido, devido à dilatação térmica, é dada por De, onde alpha é o coeficiente de dilatação linear e V0 o volume à temperatura inicial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que, para pequenas mudanças de temperatura, a variação no volume de um sólido devido à dilatação térmica é dada por De. Aqui, alpha é o coeficiente de dilatação linear e V0 é o volume inicial do sólido. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de dilatação linear e como ela afeta o volume de um objeto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é dilatação linear. Quando a temperatura de um sólido aumenta, suas dimensões lineares (comprimento, largura, altura) aumentam proporcionalmente à temperatura. A fórmula para a dilatação linear é:
De
onde De é a variação no comprimento, L0 é o comprimento inicial, alpha é o coeficiente de dilatação linear e De é a variação de temperatura.

Passo 3

Agora, vamos pensar no volume do sólido. Se o sólido é cúbico, por exemplo, o volume inicial V0 é dado por:
V0 = L0 times W0 times H0
onde L0, W0 e H0 são o comprimento, largura e altura iniciais, respectivamente.

Passo 4

Com a dilatação linear, cada uma dessas dimensões vai aumentar. Então, o novo comprimento será L = L0 + De, e o mesmo vale para a largura e a altura:
W = W0(1 + alpha De
H = H0(1 + alpha De

Passo 5

O novo volume V do sólido após a dilatação é então:
V = L times W times H = L0(1 + alpha De

Passo 6

Multiplicando essas expressões, temos:
V = V0 (1 + alpha De
Como estamos considerando pequenas variações de temperatura, podemos aproximar (1 + alpha De (usando o binômio de Newton e ignorando termos de ordem maior que alpha De).

Passo 7

Substituindo na expressão do volume:
V approx V0 (1 + 3alpha De
A variação de volume De é a diferença entre o volume final e o inicial:
De

Resposta

Portanto, mostramos que De para pequenas variações de temperatura.

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