Seja uma casca esférica grossa (raio interno a e raio externo b) feita de material condutor, carregada com carga Q+. No centro da casca existe uma carga pontual q^+.
Determine uma expressão para o campo elétrico nas três regiões, [0, a],[a, b] e [b, infty].

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma casca esférica grossa de material condutor com raio interno $ a $ e raio externo $ b $, carregada com uma carga positiva $ Q^{+} $. No centro dessa casca, tem uma carga pontual também positiva, $ q^{+} $. Nosso objetivo é determinar a expressão para o campo elétrico nas três regiões: de $ 0 $ a $ a $, de $ a $ a $ b $ e de $ b $ até o infinito. Vamos usar os conceitos de eletrostática, principalmente a Lei de Gauss, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região de $ 0 $ a $ a $, ou seja, dentro do raio interno da casca esférica. Aqui, temos apenas a carga pontual $ q^{+} $ no centro.
Lei de Gauss: Diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante $ \varepsilon_0 $.
Como estamos dentro de uma esfera com apenas a carga $ q^{+} $, o campo elétrico $ E $ nessa região é dado por:
0
onde $ r $ é a distância do centro.

Passo 3

Agora, vamos para a região de $ a $ a $ b $, que é a parte da casca condutora. Em condutores em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico interno é zero. Isso significa que dentro do material condutor da casca, o campo elétrico $ E $ é nulo.
Então, para $ a < r < b $:
a

Passo 4

Por fim, vamos considerar a região fora da casca, de $ b $ até o infinito. Aqui, temos a contribuição tanto da carga pontual $ q^{+} $ quanto da carga da casca $ Q^{+} $.
A carga total que afeta o campo elétrico nessa região é a soma das cargas internas:
b
Aplicando a Lei de Gauss novamente, o campo elétrico fora da casca é:
q^+

Resposta

As expressões para o campo elétrico nas três regiões são:
E(r) = 14pivarepsilon0 cdot qr^2 & para 0 <= r < a, 0 & para a <= r < b, 14pivarepsilon0 cdot Q + qr^2 & para r >= b

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