- Mostre que podemos calcular a área de uma região qualquer
do plano pela fórmula integrando
ou então
ao longo da fronteira de
orientada positivamente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado uma região qualquer
do plano com fronteira
suave e orientada positivamente (no sentido anti-horário), vale
ou ainda
Para isso vamos usar o Teorema de Green, que diz
Passo 2
Aplicando Green a
. Aqui
com
Logo
Pelo Teorema de Green:
Passo 3
Agora para
. Aqui
Calculamos as derivadas:
Portanto
De novo, Green dá
Resposta
Mostramos que, para fronteira
orientada positivamente, valem as duas fórmulas: