1. Mostre que o polinômio P(x)=x^{3}+x-1 tem ao menos uma raíz real no intervalo (0,1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o polinômio
P(x)=x^{3}+x-1
possui ao menos uma raiz real em (0,1).
O conteúdo utilizado será o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário), que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, então ela se anula em algum ponto desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, observamos que P é um polinômio e, portanto, é contínua em todo \mathbb{R}, em especial em [0,1]. Vamos avaliar P nas extremidades desse intervalo:
P(0)=0^{3}+0-1=-1<0.

Passo 3

Agora avaliamos em x=1:
P(1)=1^{3}+1-1=1>0.
Como P(0)<0 e P(1)>0, há mudança de sinal entre x=0 e x=1.

Passo 4

Pelo Teorema de Bolzano, se P é contínua em [0,1] e P(0)\cdot P(1)<0, então existe algum c\in(0,1) tal que
P\text{(c)}=0.

Resposta

Pelo Teorema de Bolzano, P(x)=x^{3}+x-1 tem ao menos uma raiz real em (0,1).

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