- Mostre que o polinômio
tem ao menos uma raíz real no intervalo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o polinômio
possui ao menos uma raiz real em
.
O conteúdo utilizado será o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário), que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, então ela se anula em algum ponto desse intervalo.
O conteúdo utilizado será o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário), que diz que se uma função contínua muda de sinal num intervalo, então ela se anula em algum ponto desse intervalo.
Passo 2
Primeiro, observamos que
é um polinômio e, portanto, é contínua em todo
, em especial em
. Vamos avaliar
nas extremidades desse intervalo:
Passo 3
Agora avaliamos em
:
Como
e
, há mudança de sinal entre
e
.
Passo 4
Pelo Teorema de Bolzano, se
é contínua em
e
, então existe algum
tal que
Resposta
Pelo Teorema de Bolzano,
tem ao menos uma raiz real em
.