Mostre que o ponto médio do segmento de reta de P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) até P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right) é
\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}, \frac{y_{1}+y_{2}}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ponto médio do segmento que une os pontos P_{1}(x_{1},y_{1}) e P_{2}(x_{2},y_{2}). Vamos usar geometria analítica, representando genericamente um ponto do segmento por um parâmetro t e depois escolher t=\tfrac12 para ficar exatamente no meio.

Passo 2

Qualquer ponto desse segmento pode ser escrito como combinação convexa dos extremos. Para t\in[0,1],
P(t)=\bigl((1-t)x_{1}+t\,x_{2},\,(1-t)y_{1}+t\,y_{2}\bigr).
Note que P(0)=(x_{1},y_{1}) e P(1)=(x_{2},y_{2}), e variando t a gente “anda” do primeiro ponto até o segundo de modo linear.

Passo 3

O ponto médio corresponde a t=\frac12. Logo,
P\!\Bigl(\tfrac12\Bigr) =\Bigl(\tfrac12\,x_{1}+\tfrac12\,x_{2},\;\tfrac12\,y_{1}+\tfrac12\,y_{2}\Bigr).
Como \tfrac12\,x_{1}+\tfrac12\,x_{2}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} (e idem para y), obtemos a fórmula desejada.

Resposta

\Bigl(\tfrac{x_{1}+x_{2}}{2},\;\tfrac{y_{1}+y_{2}}{2}\Bigr).

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