Esboce a região no plano x y. \left\{(x, y) \left\lvert\,-x \leqslant y<\frac{1}{2}(x+3)\right.\right\}
Passo 1
O enunciado pede para esboçarmos a região \{(x,y)\mid -x \le y < \tfrac12(x+3)\}
no plano xy. Isso significa que a área está limitada por duas retas:
\;y=-x, com inclusão \le, e
\;y=\tfrac12(x+3), com exclusão <.
Passo 2
Desenhamos primeiro a reta
y = -x
que passa pela origem (0,0) com coeficiente angular -1. Como a desigualdade é “\le”, traçamos essa reta como sólida.
Marque dois pontos, por exemplo (0,0) e (1,-1), e una-os com linha contínua.
Passo 3
Em seguida, desenhamos a reta
y = \tfrac12(x+3) = \tfrac12 x + \tfrac32
que tem coeficiente angular \tfrac12 e intercepto em y=\tfrac32. Como a desigualdade é “<”, representamos essa reta como tracejada.
Marque os pontos (0,\tfrac32) e (2,2) e una-os com linha pontilhada.
Passo 4
Para saber onde fica o “vale” da região, encontramos o ponto de interseção das duas retas resolvendo
-x = \tfrac12 x + \tfrac32.
Multiplicando por 2:
-2x = x + 3 \;\Longrightarrow\; -3x = 3 \;\Longrightarrow\; x = -1,
logo y = -(-1)=1. O cruzamento é em (-1,1).
Passo 5
Escolhemos um ponto de teste, por exemplo (0,0). Verificamos:
-x \le y \;\Longrightarrow\; 0 \le 0\quad(\text{verdadeiro}), \qquad y < \tfrac12(x+3) \;\Longrightarrow\; 0 < \tfrac32\quad(\text{verdadeiro}).
Isso mostra que o interior da região fica entre a reta sólida y=-x (acima dela) e a reta tracejada y=\tfrac12x+\tfrac32 (abaixo dela). Sombreie essa “faixa” no esboço.
Resposta
A região é o conjunto de pontos entre a reta sólida y=-x e a reta tracejada y=\tfrac12x+\tfrac32, incluindo a primeira e excluindo a segunda.