Mostre que o ponto (1, \sqrt{3}) pertence ao círculo de equação x^{2}+y^{2}=4 e calcule a equação da reta tangente a este círculo neste ponto.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar que o ponto (1,\sqrt{3}) satisfaz a equação do círculo
x^{2}+y^{2}=4
e, em seguida, determinar a reta tangente a esse círculo nesse ponto. Vamos usar conceito de curva de nível e diferenciação implícita para achar a inclinação da reta.

Passo 2

Para verificar que (1,\sqrt{3}) está no círculo, basta substituir x=1 e y=\sqrt{3} em x^{2}+y^{2}:
1^{2}+(\sqrt{3})^{2}=1+3=4,
logo (1,\sqrt{3}) satisfaz x^{2}+y^{2}=4 e pertence ao círculo.

Passo 3

Para achar a inclinação da reta tangente, diferenciamos implicitamente
x^{2}+y^{2}=4
em relação a x. Derivando cada termo:
2x + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0.
Dessa equação isolamos \frac{dy}{dx}:
2y\,\frac{dy}{dx} = -2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}.

Passo 4

Avaliamo-s a derivada em (1,\sqrt{3}):
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,\sqrt{3})} =-\frac{1}{\sqrt{3}}.
Esse é o coeficiente angular m da reta tangente. Usando a forma ponto-inclinação:
y - \sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\bigl(x - 1\bigr).
Podemos escrever de forma mais enxuta. Multiplicando tudo por \sqrt{3}:
\sqrt{3}\,y - 3 = -x + 1 \quad\Longrightarrow\quad x + \sqrt{3}\,y - 4 = 0.

Resposta

O ponto (1,\sqrt{3}) pertence ao círculo porque 1^{2}+(\sqrt{3})^{2}=4.
A reta tangente ao círculo em (1,\sqrt{3}) é
y - \sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}\bigl(x - 1\bigr) \quad\text{ou}\quad x + \sqrt{3}\,y - 4 = 0.

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