Mostre que
é normalizado.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos:
- O enunciado dá a função de onda
- O objetivo é mostrar que essa função está normalizada, ou seja, que o produto interno dela consigo mesma vale 1:
- Informação relevante que vamos usar (padrão para orbitais atômicos):
- As funções
e são funções normais (cada uma tem norma 1): e . - As funções
e são ortogonais: . Vou mostrar explicitamente por que esse produto é zero usando a decomposição em parte radial e angular (harmônicos esféricos).
- As funções
Passo 2
Definindo o que significa normalizar uma função de onda:
- Para funções de onda no espaço real, o produto interno é
- Uma função
está normalizada quando .
Aqui usaremos as propriedades lineares do produto interno para desenvolver.
Passo 3
Calcular algebricamente o produto interno de
consigo mesma:
Expandindo (usando linearidade e que
):
Como
, podemos escrever os termos cruzados como
, mas antes de substituir valores precisamos justificar que esse termo cruzado é zero.
Passo 4
Por que
(ortogonalidade):
- Os orbitais atômicos podem ser escritos como produto de parte radial e parte angular (harmônicos esféricos):
Aqui é a parte radial (depende só de ) e é o harmônico esférico (parte angular). - Os harmônicos esféricos satisfazem a ortonormalidade angular
onde . - No nosso caso
para o e para o . Assim (porque ). - O produto interno
separa-se em radial × angular: O segundo fator é zero, portanto o produto inteiro é zero: - Intuição física simples: o orbital
é angularmente isotrópico (simétrico), enquanto tem dependência em (muda de sinal entre hemisférios). Ao integrar sobre todas as direções, as contribuições se cancelam.
Passo 5
Substituindo as normas e o resultado da ortogonalidade na expressão expandida:
- Sabemos que
e e já mostramos . Então
Portanto
é normalizada para ambos os sinais
e
.