Mostre que qualquer função da forma 
  ou 
  satisfaz a equação de onda.
Passo 1
Então, a gente tem uma função do tipo 
  ou 
 , e a gente precisa mostrar que essas funções satisfazem a equação de onda. A matéria aqui envolve derivadas parciais e a própria equação de onda. Vamos precisar calcular as derivadas segundas da função em relação ao tempo 
  e ao espaço 
  e ver se elas se ajustam à equação de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda. Ela é dada por:
Isso significa que a segunda derivada de 
  em relação ao tempo deve ser igual a 
  vezes a segunda derivada de 
  em relação ao espaço.
Passo 3
Vamos começar com a função 
 . Para verificar se ela satisfaz a equação de onda, precisamos calcular as derivadas parciais.
Primeira derivada em relação a 
 :
Segunda derivada em relação a 
 :
Agora, a primeira derivada em relação a 
 :
Segunda derivada em relação a 
 :
Passo 4
Vamos agora substituir essas derivadas na equação de onda:
Vemos que:
Portanto, a função 
  satisfaz a equação de onda.
Passo 5
Fazendo um raciocínio similar para a função 
 , calculamos as derivadas:
Segunda derivada em relação a 
 :
Segunda derivada em relação a 
 :
Substituindo na equação de onda:
Novamente, a igualdade se mantém, mostrando que 
  também satisfaz a equação de onda.
Resposta
Qualquer função da forma 
  ou 
  satisfaz a equação de onda.