a) Mostre que a resultante de duas ondas cujas equações são:
Pode ser escrita como: 
b) O que representa 
 ?
c) Como pode ser descrito qualitativamente o movimento dessa onda?
e) O que acontece quando 
  for próximo de 
 ?
Pode ser escrita como:
b) O que representa
c) Como pode ser descrito qualitativamente o movimento dessa onda?
e) O que acontece quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a superposição de duas ondas com equações diferentes. A matéria que vamos estudar aqui é a interferência de ondas, que é quando duas ou mais ondas se encontram e combinam seus efeitos. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas para somar as funções senoidais das ondas.
Passo 2
Vamos começar com a parte a). Queremos mostrar que a resultante das duas ondas dadas pode ser escrita de uma forma combinada. As equações das ondas são:
Para somar essas duas ondas, vamos usar a identidade trigonométrica:
Passo 3
Aplicando essa identidade às equações das ondas, temos:
Então,
Passo 4
Vamos simplificar as expressões dentro dos senos e cossenos:
Onde definimos:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da soma das ondas:
Isso mostra que a resultante das duas ondas é uma onda senoidal modulada por uma função cosseno, que representa a interferência das ondas.
Passo 6
Agora, para a parte b), queremos saber o que representa 
 . Vamos olhar para isso:
Essa razão representa a velocidade de propagação da onda resultante. Em ondas, a velocidade 
  é dada por:
Então, 
  nos dá a velocidade com que a onda resultante se move no meio.
Passo 7
Para a parte c), vamos descrever qualitativamente o movimento dessa onda resultante. A expressão que obtivemos é:
Aqui, o termo 
  representa uma onda senoidal que se propaga com a velocidade 
 . O termo 
  atua como uma amplitude moduladora, ou seja, ele faz com que a amplitude da onda senoidal principal varie no espaço e no tempo. Isso cria um padrão de batimento ou interferência onde há regiões de maior e menor amplitude.
Passo 8
Por fim, na parte e), queremos saber o que acontece quando 
  está próximo de 
 . Se 
 , então 
  é pequeno. Isso significa que a frequência da amplitude moduladora 
  também será baixa.
Consequentemente, a onda resultante exibirá um batimento lento, onde a amplitude varia suavemente ao longo do tempo e do espaço. Esse fenômeno é conhecido como interferência construtiva e destrutiva periódica, criando zonas onde as ondas se reforçam ou se cancelam mutuamente de forma gradual.
Resposta
A resultante das duas ondas é dada por:
onde 
 , 
 , 
  e 
 . Além disso, 
  representa a velocidade de propagação da onda resultante, que exibe um movimento de batimento quando 
  está próximo de 
 .