Mostre que para qualquer vetor 𝑎,𝑎⋅𝑎=𝑎2 e 𝑎×𝑎=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas propriedades bĂĄsicas de vetores em \mathbb{R}^3: a identidade
\mathbf{a}\cdot\mathbf{a} = a^2
onde a^2 denota o quadrado do comprimento de \mathbf{a}, e
\mathbf{a}\times\mathbf{a} = \mathbf{0}.
Vamos usar a definição de produto escalar (em termos de ùngulo) e a definição de produto vetorial (tanto em termos de seno do ùngulo quanto de antissimetria).

Passo 2

Pelo produto escalar em termos de Ăąngulo, para dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} temos
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\cos\theta,
onde \theta Ă© o Ăąngulo entre eles. Se tomamos \mathbf{u}=\mathbf{v}=\mathbf{a}, entĂŁo \theta=0 e \cos0=1. Logo
\mathbf{a}\cdot\mathbf{a} = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{a}\|\cdot1 = \|\mathbf{a}\|^2,
ou seja, \mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=a^2.

Passo 3

Como checagem via componentes, se \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3), entĂŁo
\mathbf{a}\cdot\mathbf{a} = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = \|\mathbf{a}\|^2,
o que confirma a mesma conclusĂŁo.

Passo 4

Pelo produto vetorial em termos de Ăąngulo,
\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\bigl|\sin\theta\bigr|,
e a direção é perpendicular a ambos. Para \mathbf{u}=\mathbf{v}=\mathbf{a} temos \theta=0 e \sin0=0, então
\|\mathbf{a}\times\mathbf{a}\| = \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{a}\|\cdot0 = 0,
logo \mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0}.

Passo 5

Uma prova alternativa mais elegante usa a antissimetria do produto vetorial:
\mathbf{a}\times\mathbf{a} = -\,(\mathbf{a}\times\mathbf{a})
logo somando os dois lados obtemos
2\,(\mathbf{a}\times\mathbf{a}) = \mathbf{0} \quad\Longrightarrow\quad \mathbf{a}\times\mathbf{a} = \mathbf{0}.

Resposta

\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=a^2 e \mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0}.

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