Produto Vetorial em Função das Coordenadas. Mostre que para os vetores a e b do Problema 47, \mathrm{a} \times \mathrm{b}=\mathrm{i}(\mathrm{ay} \mathrm{bz}-\mathrm{az} by )+\mathrm{j}(\mathrm{az} \mathrm{bx}-\mathrm{ax} \mathrm{bz})+\mathrm{k}(\mathrm{ax} \mathrm{by}-\mathrm{ay} \mathrm{bx}).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a expressão do produto vetorial em coordenadas para \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z) e \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z).
O conteúdo necessário é a definição bilinear e antissimétrica do produto vetorial, junto com as regras \mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}, \mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i}, \mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j}
e \mathbf{i}\times\mathbf{i}=\mathbf{j}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}\times\mathbf{k}=\mathbf{0}.

Passo 2

Escrevemos os vetores nos versores canônicos:
\mathbf{a}=a_x\,\mathbf{i}+a_y\,\mathbf{j}+a_z\,\mathbf{k}, \quad \mathbf{b}=b_x\,\mathbf{i}+b_y\,\mathbf{j}+b_z\,\mathbf{k}.

Passo 3

Usando a bilinearidade (distributividade) do produto vetorial, expandimos:
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = a_xb_x\,(\mathbf{i}\times\mathbf{i}) + a_xb_y\,(\mathbf{i}\times\mathbf{j}) + a_xb_z\,(\mathbf{i}\times\mathbf{k}) + a_yb_x\,(\mathbf{j}\times\mathbf{i}) + a_yb_y\,(\mathbf{j}\times\mathbf{j}) + a_yb_z\,(\mathbf{j}\times\mathbf{k}) + a_zb_x\,(\mathbf{k}\times\mathbf{i}) + a_zb_y\,(\mathbf{k}\times\mathbf{j}) + a_zb_z\,(\mathbf{k}\times\mathbf{k}).

Passo 4

Eliminamos termos nulos e aplicamos as regras básicas: \mathbf{i}\times\mathbf{i}=\mathbf{0}, \mathbf{j}\times\mathbf{j}=\mathbf{0}, \mathbf{k}\times\mathbf{k}=\mathbf{0}; \mathbf{i}\times\mathbf{j}=\mathbf{k}, \mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i}, \mathbf{k}\times\mathbf{i}=\mathbf{j};
e também \mathbf{j}\times\mathbf{i}=-\mathbf{k}, \mathbf{k}\times\mathbf{j}=-\mathbf{i}, \mathbf{i}\times\mathbf{k}=-\mathbf{j}.
Assim sobra
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = a_xb_y\,\mathbf{k} - a_xb_z\,\mathbf{j} - a_yb_x\,\mathbf{k} + a_yb_z\,\mathbf{i} + a_zb_x\,\mathbf{j} - a_zb_y\,\mathbf{i}.

Passo 5

Agrupando os coeficientes de \mathbf{i}, \mathbf{j} e \mathbf{k}, obtemos
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = (a_yb_z - a_zb_y)\,\mathbf{i} + (a_zb_x - a_xb_z)\,\mathbf{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\,\mathbf{k}.

Resposta

\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \mathbf{i}\,(a_y b_z - a_z b_y) + \mathbf{j}\,(a_z b_x - a_x b_z) + \mathbf{k}\,(a_x b_y - a_y b_x).

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