1. Mostre que em uma rede cúbica simples, (a) existe uma esfera por célula unitária, e (b) aproximadamente 52 \% do volume da célula unitária estão ocupados.

Passo 1

O enunciado trata da geometria de empacotamento na rede cúbica simples (simple cubic, csc). Precisamos:
  1. Determinar quantas esferas “inteiras” cabem efetivamente em cada célula unitária.
  2. Calcular a fração do volume da célula que é ocupada pelas esferas.

Passo 2

Cada esfera está centrada nos vértices do cubo. Uma célula tem 8 vértices e em cada vértice “pertence” \tfrac18 de uma esfera àquela célula. Logo, o número total de esferas por célula unitária é
8 \times \frac18 = 1.

Passo 3

Na rede cúbica simples as esferas encostam-se ao longo das arestas do cubo. Se a é o parâmetro de rede (aresta do cubo) e r o raio de cada esfera, então a distância entre centros vizinhos é
2r = a \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{a}{2}.

Passo 4

O volume de uma esfera de raio r é
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\,\pi\,r^{3} = \frac{4}{3}\,\pi\left(\frac{a}{2}\right)^{3} = \frac{\pi\,a^{3}}{6}.
Como há exatamente uma esfera por célula unitária, o volume ocupado por esferas é \tfrac{\pi\,a^{3}}{6} e o volume da célula é a^{3}. A fração de empacotamento fica
\frac{V_{\text{esferas}}}{V_{\text{célula}}} = \frac{\frac{\pi\,a^{3}}{6}}{a^{3}} = \frac{\pi}{6} \approx 0,524 \approx 52\%.é

Resposta

(a) Há exatamente uma esfera por célula unitária.
(b) A fração de volume ocupado é \displaystyle \frac{\pi}{6}\approx52\%.

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