- Mostre que em uma rede cúbica simples, (a) existe uma esfera por célula unitária, e (b) aproximadamente
do volume da célula unitária estão ocupados.
Passo 1
O enunciado trata da geometria de empacotamento na rede cúbica simples (simple cubic, csc). Precisamos:
- Determinar quantas esferas “inteiras” cabem efetivamente em cada célula unitária.
- Calcular a fração do volume da célula que é ocupada pelas esferas.
Passo 2
Cada esfera está centrada nos vértices do cubo. Uma célula tem 8 vértices e em cada vértice “pertence”
de uma esfera àquela célula. Logo, o número total de esferas por célula unitária é
Passo 3
Na rede cúbica simples as esferas encostam-se ao longo das arestas do cubo. Se
é o parâmetro de rede (aresta do cubo) e
o raio de cada esfera, então a distância entre centros vizinhos é
Passo 4
O volume de uma esfera de raio
é
Como há exatamente uma esfera por célula unitária, o volume ocupado por esferas é
e o volume da célula é
. A fração de empacotamento fica
Resposta
(a) Há exatamente uma esfera por célula unitária.
(b) A fração de volume ocupado é .
(b) A fração de volume ocupado é