Mostre que uma reta no
que contém a origem é isomorfa aos reais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que qualquer reta em
que passe pela origem é um espaço vetorial de dimensão 1 e, portanto, é isomorfo a
. O conteúdo é teoria de espaços vetoriais e isomorfismos: precisamos exibir um mapeamento linear bijetivo entre a reta e
.
Passo 2
Denotemos por
a reta que passa pela origem em
. Escolhendo um vetor fixo não nulo
, temos
Note que
é um subespaço vetorial de
de dimensão 1.
Passo 3
Definimos a aplicação
Vamos mostrar que
é um isomorfismo de espaços vetoriais.
Passo 4
Verificação de linearidade. Para
e escalares
,
Logo,
é linear.
Passo 5
Verificação de bijetividade.
- Injetividade: se
, então . Como , isso força . Logo, o núcleo de é trivial e é injetora. - Sobrejetividade: por definição de
, qualquer ponto é para algum . Portanto existe tal que . Assim é sobrejetora.
Como
é linear, injetora e sobrejetora, concluímos que é um isomorfismo entre
e
.
Resposta
A reta
em
que contém a origem é isomorfa a
via o isomorfismo