Mostre que uma reta no \mathbb{R}^{3} que contém a origem é isomorfa aos reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que qualquer reta em \mathbb{R}^{3} que passe pela origem é um espaço vetorial de dimensão 1 e, portanto, é isomorfo a \mathbb{R}. O conteúdo é teoria de espaços vetoriais e isomorfismos: precisamos exibir um mapeamento linear bijetivo entre a reta e \mathbb{R}.

Passo 2

Denotemos por L a reta que passa pela origem em \mathbb{R}^{3}. Escolhendo um vetor fixo não nulo \mathbf{v}\in\mathbb{R}^{3}, temos
L = \{\,t\,\mathbf{v} \mid t\in\mathbb{R}\}.
Note que L é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} de dimensão 1.

Passo 3

Definimos a aplicação
\varphi \colon \mathbb{R} \longrightarrow L, \quad \varphi(t) = t\,\mathbf{v}.
Vamos mostrar que \varphi é um isomorfismo de espaços vetoriais.

Passo 4

Verificação de linearidade. Para t_{1},t_{2}\in\mathbb{R} e escalares a,b\in\mathbb{R},
\varphi(a\,t_{1} + b\,t_{2}) = (a\,t_{1} + b\,t_{2})\,\mathbf{v} = a\,(t_{1}\mathbf{v}) + b\,(t_{2}\mathbf{v}) = a\,\varphi(t_{1}) + b\,\varphi(t_{2}).
Logo, \varphi é linear.

Passo 5

Verificação de bijetividade.
  1. Injetividade: se \varphi(t)=\mathbf{0}, então t\,\mathbf{v}=\mathbf{0}. Como \mathbf{v}\neq\mathbf{0}, isso força t=0. Logo, o núcleo de \varphi é trivial e \varphi é injetora.
  2. Sobrejetividade: por definição de L, qualquer ponto \mathbf{w}\in L é \mathbf{w}=s\,\mathbf{v} para algum s\in\mathbb{R}. Portanto existe t=s tal que \varphi(t)=\mathbf{w}. Assim \varphi é sobrejetora.
Como \varphi é linear, injetora e sobrejetora, concluímos que é um isomorfismo entre \mathbb{R} e L.

Resposta

A reta L=\{t\mathbf{v}\mid t\in\mathbb{R}\} em \mathbb{R}^3 que contém a origem é isomorfa a \mathbb{R} via o isomorfismo
\varphi\colon \mathbb{R}\to L, \quad \varphi(t)=t\,\mathbf{v}.

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