Mostre que o rotacional é um operadores linear, ou seja,
nabla x (c u + d v) = c nabla x u + d nabla x v
onde u e v são campos vetoriais e c e d são constantes reais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos mostrar que o rotacional (ou “curl”) é um operador linear. Isso significa que, para dois campos vetoriais e , e para constantes reais e , a seguinte igualdade deve valer:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição do rotacional e as propriedades das operações com vetores.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é o rotacional de um campo vetorial. Se temos um campo vetorial , o rotacional de é dado por:
Essa expressão envolve derivadas parciais dos componentes do vetor, o que é essencial para entendermos como o rotacional funciona.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o rotacional ao campo vetorial . Primeiro, escrevemos esse campo de forma expandida:
Aqui, são os componentes do vetor e são os componentes do vetor .

Passo 4

Aplicando o rotacional a , temos:

Passo 5

Podemos distribuir as derivadas parciais pelas constantes e , já que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela derivada da função. Assim:

Passo 6

Vamos agrupar os termos que têm e os que têm :

Passo 7

Observamos que cada uma das expressões dentro dos parênteses é exatamente o rotacional de e , respectivamente. Ou seja:

Resposta

Portanto, concluímos que o rotacional é um operador linear:

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