Nos exercícios 22 a 27, utilize o método das cascas cilíndricas para determinar o volume do solido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo especificado, da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
y=x^3, y=1 e x = 0; ao redor da reta y = 1.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas , e em torno da reta . Para resolver isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica da Cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. As curvas que delimitam a região são e . Para encontrar onde elas se interceptam, igualamos as duas equações:
Então, varia de 0 a 1.

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, o volume é calculado pela integral:
Aqui:
  • Raio: é a distância vertical da linha de rotação até um ponto qualquer da curva , que é .
  • Altura: é a distância horizontal ao longo do eixo , que neste caso é simplesmente .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
Subtraindo os resultados:
Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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