Mostre que
s=\left\{\left[\begin{array}{ll} a & 0 \\\\ 0 & d \end{array}\right]: a, d \in \mathbb{R}\right\}
ć um subespaço vetorial de M(2 \times 2) e calcule \operatorname{dim} S.

Passo 1

O enunciado define
S = \left\{\begin{pmatrix}a & 0\\\ 0 & d\end{pmatrix}:a,d\in\mathbb{R}\right\}
e pede para mostrar que S é subespaço vetorial de M(2\times2) e calcular \dim S.
Para isso, vamos verificar os critérios de subespaço (presença da matriz zero, fechamento em soma e em multiplicação escalar) e em seguida encontrar uma base de S.

Passo 2

  1. A matriz zero
0 = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}
está em S (basta tomar a=0, d=0).
2. Dados \displaystyle X=\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&d\end{pmatrix} e \displaystyle Y=\begin{pmatrix}a'&0\\\ 0&d'\end{pmatrix} em S, então
X+Y =\begin{pmatrix}a+a'&0\\\ 0&d+d'\end{pmatrix}
fica em S, pois a+a' e d+d' são reais.
3. Para todo escalar \lambda\in\mathbb{R},
\lambda X =\begin{pmatrix}\lambda a&0\\\ 0&\lambda d\end{pmatrix}
também pertence a S.
Logo, S satisfaz os critérios de subespaço vetorial.

Passo 3

Considere as matrizes
E_{11} = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, \quad E_{22} = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.
Qualquer \displaystyle A=\begin{pmatrix}a&0\\\ 0&d\end{pmatrix}\in S pode ser escrito como
A = a\,E_{11} + d\,E_{22},
mostrando que \{E_{11},E_{22}\} gera S.
Para verificar independência linear, note que \alpha E_{11} + \beta E_{22} = 0
implica \alpha=0 e \beta=0. Portanto \{E_{11},E_{22}\} é base de S e tem dois elementos.

Resposta

\;S é subespaço vetorial de M(2\times2) e \dim S = 2.

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