Se os vetores v_{1}, \ldots, v_{n} são L.I., prove que o mesmo se dá com os vetores v_{1}, v_{2}-v_{1}, \ldots, v_{n}-v_{1}. Vale a recíproca?

Passo 1

O enunciado diz que temos vetores \,v_{1},\dots,v_{n}\, linearmente independentes e pede para provar que o mesmo vale para o conjunto
v_{1},\;v_{2}-v_{1},\;\dots,\;v_{n}-v_{1}.
Vamos usar diretamente a definição de independência linear: um conjunto \{w_i\} é L.I. se a única combinação
\sum_i \lambda_i\,w_i = 0
ocorre quando todos os \lambda_i=0. A seguir faremos essa verificação para cada caso.

Passo 2

Suponha escalares \alpha_1,\dots,\alpha_n tais que
\alpha_1\,v_{1}+\alpha_2\,(v_{2}-v_{1})+\cdots+\alpha_n\,(v_{n}-v_{1})=0.
Expandindo e agrupando pelos vetores v_1,\dots,v_n, obtemos
(\alpha_1-\alpha_2-\cdots-\alpha_n)\,v_{1} \;+\;\alpha_2\,v_{2}+\cdots+\alpha_n\,v_{n} \;=\;0.
Como \{v_1,\dots,v_n\} é L.I., cada coeficiente deve ser zero. Logo
\alpha_2=\cdots=\alpha_n=0 \quad\text{e}\quad \alpha_1-(\alpha_2+\cdots+\alpha_n)=0 \;\Longrightarrow\;\alpha_1=0.
Assim os \alpha_i são todos nulos, mostrando que \{v_{1},v_{2}-v_{1},\dots,v_{n}-v_{1}\} é L.I.

Passo 3

Agora assuma que \{v_{1},v_{2}-v_{1},\dots,v_{n}-v_{1}\} é L.I. e considere uma combinação qualquer dos v_i:
\beta_1\,v_{1}+\beta_2\,v_{2}+\cdots+\beta_n\,v_{n}=0.
Para i\ge2, escreva v_i=(v_i-v_1)+v_1. Substituindo,
\beta_1\,v_{1}+\sum_{i=2}^n \beta_i\bigl[(v_i-v_1)+v_1\bigr]=0 \;\Longrightarrow\; (\beta_1+\beta_2+\cdots+\beta_n)\,v_{1} +\beta_2\,(v_{2}-v_{1})+\cdots+\beta_n\,(v_{n}-v_{1})=0.
Pela hipótese de independência de \{v_{1},v_{2}-v_{1},\dots,v_{n}-v_{1}\}, vem
\beta_2=\cdots=\beta_n=0 \quad\text{e}\quad \beta_1+\beta_2+\cdots+\beta_n=0 \;\Longrightarrow\;\beta_1=0.
Logo todos os \beta_i são zero, provando que \{v_1,\dots,v_n\} é L.I.

Resposta

Sim. O conjunto \{v_{1},\dots,v_{n}\} é L.I. se e somente se \{v_{1},v_{2}-v_{1},\dots,v_{n}-v_{1}\} também é L.I.

Exercícios relacionados