Se os vetores
são L.I., prove que o mesmo se dá com os vetores
. Vale a recíproca?
Passo 1
O enunciado diz que temos vetores
linearmente independentes e pede para provar que o mesmo vale para o conjunto
Vamos usar diretamente a definição de independência linear: um conjunto
é L.I. se a única combinação
ocorre quando todos os
. A seguir faremos essa verificação para cada caso.
Passo 2
Suponha escalares
tais que
Expandindo e agrupando pelos vetores
, obtemos
Como
é L.I., cada coeficiente deve ser zero. Logo
Assim os
são todos nulos, mostrando que
é L.I.
Passo 3
Agora assuma que
é L.I. e considere uma combinação qualquer dos
:
Para
, escreva
. Substituindo,
Pela hipótese de independência de
, vem
Logo todos os
são zero, provando que
é L.I.
Resposta
Sim. O conjunto
é L.I. se e somente se
também é L.I.