Mostre que são tautologias usando tabelas verdade:
(O item a) é a regra de inferência mais básica, utilizada toda hora.)
((p \vee q) \wedge(p \rightarrow r) \wedge(q \rightarrow r)) \rightarrow r

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a fórmula
\bigl((p \vee q)\wedge(p \rightarrow r)\wedge(q \rightarrow r)\bigr)\;\rightarrow\;r
é uma tautologia usando tabela-verdade. O conteúdo é Lógica Proposicional e vamos precisar montar a tabela-verdade completa para todas as combinações de valores de p,q,r.

Passo 2

Montamos a tabela-verdade com as colunas p, q, r, p\vee q, p\rightarrow r, q\rightarrow r, a conjunção intermediária e finalmente a implicação ao r:
\begin{array}{c c c \;|\; c c c \;|\; c \;|\; c} p & q & r & p\vee q & p\rightarrow r & q\rightarrow r & (p\vee q)\wedge(p\rightarrow r)\wedge(q\rightarrow r) & \bigl((p\vee q)\wedge(p\rightarrow r)\wedge(q\rightarrow r)\bigr)\rightarrow r\\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}

Passo 3

Observando a última coluna, em todas as oito linhas o valor é 1 (verdadeiro). Isso mostra que, independentemente dos valores de p, q e r, a fórmula sempre vale verdadeiro.

Resposta

A expressão
\bigl((p \vee q)\wedge(p \rightarrow r)\wedge(q \rightarrow r)\bigr)\;\rightarrow\;r
é uma tautologia.

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