Mostre a seguinte identidade:
\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)-\sin (\pi-x)=-\sin x-\cos x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\cos\Bigl(x+\frac{\pi}{2}\Bigr)\;-\;\sin(\pi - x)\;=\;-\sin x\;-\;\cos x.
O conteúdo aqui é manipular fórmulas trigonométricas de soma e das identidades de ângulos complementares e suplementares.

Passo 2

Use a fórmula de cosseno de soma:
\cos\bigl(x+\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\cos x\cos\tfrac{\pi}{2}-\sin x\sin\tfrac{\pi}{2} = \cos x\cdot0 \;-\;\sin x\cdot1 = -\sin x.

Passo 3

Use a identidade de seno no ângulo suplementar:
\sin(\pi - x) =\sin\pi\cos x-\cos\pi\sin x =0\cdot\cos x -(-1)\cdot\sin x =\sin x.

Passo 4

Agora substituímos na expressão original:
\cos\Bigl(x+\tfrac{\pi}{2}\Bigr)\;-\;\sin(\pi - x) = \bigl(-\sin x\bigr)\;-\;\bigl(\sin x\bigr) = -2\,\sin x.

Passo 5

Compare com o lado direito proposto, -\sin x-\cos x. Vemos que
-2\sin x \neq -\sin x - \cos x \quad\text{(em geral para todo \(x\))}.
Portanto, a identidade dada não é válida.

Resposta

A expressão à esquerda simplifica-se a -2\sin x, que não coincide com -\sin x - \cos x.Logo, a igualdade não se verifica para todo x.

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