Mostre que os seguintes conjuntos formam espaços vetoriais reais sob as operações usuais.
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Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é o conjunto
. A missão é mostrar que esse conjunto forma um espaço vetorial real sob as operações usuais. Para isso, vamos precisar lembrar o que define um espaço vetorial e verificar se
satisfaz essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um espaço vetorial precisa ter o vetor zero e ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Vamos começar verificando se o vetor zero está em
.
Passo 3
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
Como a igualdade se mantém, o vetor zero está em
. Isso é importante porque todo espaço vetorial precisa conter o vetor zero.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Sabemos que:
Vamos somar essas duas equações:
Isso mostra que:
Portanto,
também satisfaz a condição para estar em
, ou seja,
é fechado sob adição.
Passo 5
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se tomarmos qualquer vetor
em
e qualquer escalar
, o vetor
também deve estar em
.
Sabemos que:
Multiplicando toda a equação por
:
Portanto,
também satisfaz a condição para estar em
, ou seja,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é, de fato, um espaço vetorial real sob as operações usuais.