Dada F(p)=Lf(x)(p), obtenha f(x).
g) pip^2+10 pi p+24 pi^2

Passo 1

Então, a gente tem uma função no domínio de Laplace, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar a função original a partir dessa transformação. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformada de Laplace e suas propriedades, principalmente a inversa da transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração: . Precisamos fatorar esse polinômio para facilitar a aplicação da transformada inversa.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio quadrático p^2 + 10pi p + 24pi^2 = (p + 4pi)(p + 6pi) . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então podemos escrever:

Passo 4

Agora, substituímos o denominador fatorado de volta na expressão de F(p) = pi(p + 4pi)(p + 6pi) :

Passo 5

Para facilitar a aplicação da transformada inversa, vamos decompor a fração em frações parciais. Assumimos que:
pi(p + 4pi)(p + 6pi) = Ap + 4pi + Bp + 6pi

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados da equação por pi = A(p + 6pi) + B(p + 4pi) para eliminar os denominadores:

Passo 7

Agora, vamos encontrar os valores de pi = A(-4pi + 6pi) + B(0) Rightarrow pi = A(2pi) Rightarrow A = pi2pi = 12 e pi = A(0) + B(-6pi + 4pi) Rightarrow pi = B(-2pi) Rightarrow B = -pi2pi = -12 . Podemos escolher valores de que simplifiquem a equação. Por exemplo:
  • Se :
  • Se :

Passo 8

Com os valores encontrados, podemos reescrever F(p) = 1/2p + 4pi - 1/2p + 6pi como:

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que:
L^-11p + a = e^-a x
Aplicando isso aos termos de f(x) = 12 e^-4pi x - 12 e^-6pi x :

Resposta

A função original é .

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