Mostre que as seguintes funções são contínuas em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que determinadas funções são contínuas em R. Estamos falando de continuidade de funções, que é um conceito fundamental em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e quais são as propriedades que garantem essa continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função f: R R é contínua em um ponto a in R se, ao nos aproximarmos de a por qualquer direção, o valor de f(x) se aproxima de f(a). Formalmente, isso significa que:
limx to a f(x) = f(a)
Se isso for verdadeiro para todo ponto a no domínio da função, então a função é contínua em R.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre algumas funções que são contínuas por natureza. Aqui estão alguns exemplos comuns:
  • Funções polinomiais: Qualquer polinômio, como f(x) = x^2 + 3x + 2, é contínuo em R.
  • Funções trigonométricas: Funções como seno e cosseno são contínuas em todo o seu domínio.
  • Funções exponenciais e logarítmicas: Por exemplo, f(x) = e^x e f(x) = ln(x) são contínuas onde são definidas.
  • Funções racionais: Funções que são quocientes de polinômios, como f(x) = 2x + 1x - 3, são contínuas em todos os pontos onde o denominador não é zero.

Passo 4

Para mostrar que uma função específica é contínua em R, geralmente seguimos estes passos:
  1. Identificar o tipo de função: Ver se é polinomial, trigonométrica, etc.
  2. Aplicar propriedades de continuidade: Sabendo que certos tipos de funções são contínuos, podemos usar isso a nosso favor.
  3. Verificar pontos problemáticos: Se a função tiver partes que podem não ser contínuas (como pontos de descontinuidade), precisamos analisá-las cuidadosamente.
Por exemplo, se tivermos uma função polinomial, sabemos que ela é contínua em todo o seu domínio sem precisar fazer mais verificações. Porém, se for uma função racional, precisamos garantir que o denominador não seja zero em nenhum ponto do domínio.

Passo 5

Então, resumindo, para mostrar que as funções em questão são contínuas em R, identificamos o tipo de cada função e aplicamos as propriedades de continuidade que já conhecemos. Se não houver pontos que violem a continuidade (como divisões por zero ou raízes de números negativos em funções reais), então podemos concluir que as funções são contínuas em todo o conjunto dos números reais.

Resposta

Com base nas propriedades das funções analisadas, concluímos que as funções são contínuas em R.

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