Mostre que as seguintes funções são contínuas em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que determinadas funções são contínuas em
. Estamos falando de continuidade de funções, que é um conceito fundamental em cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e quais são as propriedades que garantem essa continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função
é contínua em um ponto
se, ao nos aproximarmos de
por qualquer direção, o valor de
se aproxima de
. Formalmente, isso significa que:
Se isso for verdadeiro para todo ponto
no domínio da função, então a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre algumas funções que são contínuas por natureza. Aqui estão alguns exemplos comuns:
- Funções polinomiais: Qualquer polinômio, como
, é contínuo em . - Funções trigonométricas: Funções como seno e cosseno são contínuas em todo o seu domínio.
- Funções exponenciais e logarítmicas: Por exemplo,
e são contínuas onde são definidas. - Funções racionais: Funções que são quocientes de polinômios, como
, são contínuas em todos os pontos onde o denominador não é zero.
Passo 4
Para mostrar que uma função específica é contínua em
, geralmente seguimos estes passos:
- Identificar o tipo de função: Ver se é polinomial, trigonométrica, etc.
- Aplicar propriedades de continuidade: Sabendo que certos tipos de funções são contínuos, podemos usar isso a nosso favor.
- Verificar pontos problemáticos: Se a função tiver partes que podem não ser contínuas (como pontos de descontinuidade), precisamos analisá-las cuidadosamente.
Por exemplo, se tivermos uma função polinomial, sabemos que ela é contínua em todo o seu domínio sem precisar fazer mais verificações. Porém, se for uma função racional, precisamos garantir que o denominador não seja zero em nenhum ponto do domínio.
Passo 5
Então, resumindo, para mostrar que as funções em questão são contínuas em
, identificamos o tipo de cada função e aplicamos as propriedades de continuidade que já conhecemos. Se não houver pontos que violem a continuidade (como divisões por zero ou raízes de números negativos em funções reais), então podemos concluir que as funções são contínuas em todo o conjunto dos números reais.
Resposta
Com base nas propriedades das funções analisadas, concluímos que as funções são contínuas em
.