Mostre que as seguintes propriedades importantes da divisibilidade:
Mostre que
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos uma propriedade importante do [\operatorname{mdc}) (máximo divisor comum). Especificamente, precisamos provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o (\operatorname{mdc}] e como ele se comporta com zero e números negativos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o mdc. O máximo divisor comum de dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Por exemplo, mdc(8, 12) = 4, porque 4 é o maior número que divide tanto 8 quanto 12.
Passo 3
Agora, consideremos mdc(0, b). Precisamos entender o que significa dividir zero por b. Sabemos que qualquer número dividido por zero não é definido, mas zero dividido por qualquer número diferente de zero é zero. Além disso, o divisor comum de 0 e b será o próprio b ou seu negativo, dependendo do sinal de b.
Passo 4
Quando b é positivo (b > 0), o maior número que divide tanto 0 quanto b é b mesmo. Isso porque b divide a zero (0 div b = 0) e, obviamente, b divide a si mesmo. Portanto, mdc(0, b) = b quando b > 0.
Passo 5
Por outro lado, quando b é negativo (b < 0), queremos que o mdc(0, b) seja um número positivo, pois, por convenção, o mdc é sempre não negativo. Porém, de acordo com a definição acima, mantemos mdc(0, b) = -b, tornando-o positivo. Assim, quando b < 0, mdc(0, b) = -b.