Mostre que as seguintes propriedades importantes da divisibilidade:
Mostre que
mdc(0, b)= b, & se b>0 -b, & se b<0

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos uma propriedade importante do [\operatorname{mdc}) (máximo divisor comum). Especificamente, precisamos provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o (\operatorname{mdc}] e como ele se comporta com zero e números negativos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o mdc. O máximo divisor comum de dois números é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Por exemplo, mdc(8, 12) = 4, porque 4 é o maior número que divide tanto 8 quanto 12.

Passo 3

Agora, consideremos mdc(0, b). Precisamos entender o que significa dividir zero por b. Sabemos que qualquer número dividido por zero não é definido, mas zero dividido por qualquer número diferente de zero é zero. Além disso, o divisor comum de 0 e b será o próprio b ou seu negativo, dependendo do sinal de b.

Passo 4

Quando b é positivo ( b > 0), o maior número que divide tanto 0 quanto b é b mesmo. Isso porque b divide a zero ( 0 div b = 0) e, obviamente, b divide a si mesmo. Portanto, mdc(0, b) = b quando b > 0.

Passo 5

Por outro lado, quando b é negativo ( b < 0), queremos que o mdc(0, b) seja um número positivo, pois, por convenção, o mdc é sempre não negativo. Porém, de acordo com a definição acima, mantemos mdc(0, b) = -b, tornando-o positivo. Assim, quando b < 0, mdc(0, b) = -b.

Resposta

Portanto,
mdc(0, b)= b, & se b > 0 - b, & se b < 0

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