Mostre que as seguintes propriedades importantes da divisibilidade:
Mostre que se a neq 0 ou b neq 0, então
mdc(a, b)=mdc(-a, b)=mdc(a,-b)=mdc(-a,-b)

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre o máximo divisor comum (mdc). O problema nos pede para mostrar que o mdc de dois números a e b é o mesmo mesmo se trocar o sinal de a ou de b (ou de ambos). Para isso, vamos precisar entender o que é o mdc e como os sinais dos números afetam seus divisores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o máximo divisor comum. O mdc de dois números a e b é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Por exemplo, o mdc de 12 e 18 é 6 porque 6 é o maior número que divide tanto 12 quanto 18.

Passo 3

Agora, vamos pensar nos divisores de um número positivo e de seu correspondente negativo. Vamos pegar um número a . Os divisores de a são os mesmos divisores de -a , porque se um número divide a , ele também divide -a . Por exemplo, os divisores de 5 são 1 e 5, e os divisores de -5 também são 1 e 5 (ignorando o sinal).

Passo 4

Com isso em mente, vamos analisar cada caso:
  1. mdc(a, b) e mdc(-a, b): Como os divisores de a e -a são os mesmos, o mdc com b não muda.
  2. mdc(a, b) e mdc(a, -b): Similarmente, os divisores de b e -b são os mesmos, então o mdc com a permanece igual.
  3. mdc(a, b) e mdc(-a, -b): Aqui, tanto a quanto b mudam de sinal, mas seus divisores individuais não mudam, mantendo o mdc igual.

Resposta

Portanto, mostramos que
mdc(a, b)=mdc(-a, b)=mdc(a,-b)=mdc(-a,-b)

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