Mostre que as seguintes propriedades importantes da divisibilidade:
Mostre que se
ou
, então
Mostre que se
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre o máximo divisor comum (mdc). O problema nos pede para mostrar que o mdc de dois números
e
é o mesmo mesmo se trocar o sinal de
ou de
(ou de ambos). Para isso, vamos precisar entender o que é o mdc e como os sinais dos números afetam seus divisores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o máximo divisor comum. O mdc de dois números
e
é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Por exemplo, o mdc de 12 e 18 é 6 porque 6 é o maior número que divide tanto 12 quanto 18.
Passo 3
Agora, vamos pensar nos divisores de um número positivo e de seu correspondente negativo. Vamos pegar um número
. Os divisores de
são os mesmos divisores de
, porque se um número divide
, ele também divide
. Por exemplo, os divisores de 5 são 1 e 5, e os divisores de -5 também são 1 e 5 (ignorando o sinal).
Passo 4
Com isso em mente, vamos analisar cada caso:
-
e : Como os divisores de e são os mesmos, o mdc com não muda. -
e : Similarmente, os divisores de e são os mesmos, então o mdc com permanece igual. -
e : Aqui, tanto quanto mudam de sinal, mas seus divisores individuais não mudam, mantendo o mdc igual.
Resposta
Portanto, mostramos que