Mostre que as seguintes propriedades são verdadeiras
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto, na ordem invertida, das transpostas. Ou seja, provar a igualdade
Informações relevantes dadas (e que precisamos assumir para a afirmação fazer sentido):
- Seja
uma matriz de dimensão . - Seja
uma matriz de dimensão .
Essas dimensões garantem que o produtoexista e tenha dimensão ; então é de dimensão . Também é e é , logo o produto existe e tem dimensão . A prova será feita mostrando que todos os elementos correspondentes dessas duas matrizes coincidem.
Passo 2
Definição de transposta (crucial e simples): se
é uma matriz qualquer com entradas
(linha
, coluna
), então a transposta
é a matriz cujas entradas são
Intuição: transpor troca linhas por colunas. Vou usar essa definição diretamente nas contas.
Passo 3
Definição de multiplicação de matrizes (outra pedra angular): se
é
e
é
, então o produto
é
com entradas dadas por
Explicando devagar: para obter o elemento na linha
coluna
do produto, multiplicamos elementos da linha
de
pelos elementos correspondentes da coluna
de
e somamos tudo — o índice
percorre as colunas de
(ou linhas de
).
Passo 4
Calcular a entrada genérica de
. Pela definição de transposta,
Usando a definição do produto em
,
Portanto obtivemos a expressão
Passo 5
Calcular a entrada genérica de
. Aplicando a definição do produto (com
e
):
Agora uso a definição de transposta para as entradas individuais:
e
. Substituindo,
Passo 6
Comparar as duas expressões obtidas nos passos anteriores:
e
Cada termo da soma é um produto de escalares (números). Em campos usuais (por exemplo, nos reais) a multiplicação de escalares é comutativa, ou seja
. Logo, para todo
,
Como as entradas correspondentes de duas matrizes quaisquer coincidem para todo
, as matrizes são iguais. Assim concluímos
Passo 7
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia. Tome
Calcule
:
Transpondo:
Agora calcule
e
:
E o produto
:
Confere:
no exemplo concreto também.]