Mostre que as seguintes propriedades são verdadeiras
Mostre que (A B)^{t}=B^{t} A^{t}.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto, na ordem invertida, das transpostas. Ou seja, provar a igualdade
(AB)^{t}=B^{t}A^{t}.
Informações relevantes dadas (e que precisamos assumir para a afirmação fazer sentido):
  • Seja A uma matriz de dimensão m\times n.
  • Seja B uma matriz de dimensão n\times p.
    Essas dimensões garantem que o produto AB exista e tenha dimensão m\times p; então (AB)^{t} é de dimensão p\times m. Também B^{t} é p\times n e A^{t} é n\times m, logo o produto B^{t}A^{t} existe e tem dimensão p\times m. A prova será feita mostrando que todos os elementos correspondentes dessas duas matrizes coincidem.

Passo 2

Definição de transposta (crucial e simples): se M é uma matriz qualquer com entradas M_{ij} (linha i, coluna j), então a transposta M^{t} é a matriz cujas entradas são
(M^{t})_{ij}=M_{ji}.
Intuição: transpor troca linhas por colunas. Vou usar essa definição diretamente nas contas.

Passo 3

Definição de multiplicação de matrizes (outra pedra angular): se A é m\times n e B é n\times p, então o produto C=AB é m\times p com entradas dadas por
C_{ij}=(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,B_{kj}.
Explicando devagar: para obter o elemento na linha i coluna j do produto, multiplicamos elementos da linha i de A pelos elementos correspondentes da coluna j de B e somamos tudo — o índice k percorre as colunas de A (ou linhas de B).

Passo 4

Calcular a entrada genérica de (AB)^{t}. Pela definição de transposta,
((AB)^{t})_{ij}=(AB)_{ji}.
Usando a definição do produto em (AB)_{ji},
(AB)_{ji}=\sum_{k=1}^{n} A_{jk}\,B_{ki}.
Portanto obtivemos a expressão
((AB)^{t})_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{jk}\,B_{ki}.

Passo 5

Calcular a entrada genérica de B^{t}A^{t}. Aplicando a definição do produto (com B^{t} e A^{t}):
(B^{t}A^{t})_{ij}=\sum_{k=1}^{n} (B^{t})_{ik}\,(A^{t})_{kj}.
Agora uso a definição de transposta para as entradas individuais: (B^{t})_{ik}=B_{ki} e (A^{t})_{kj}=A_{jk}. Substituindo,
(B^{t}A^{t})_{ij}=\sum_{k=1}^{n} B_{ki}\,A_{jk}.

Passo 6

Comparar as duas expressões obtidas nos passos anteriores:
((AB)^{t})_{ij}=\sum_{k=1}^{n} A_{jk}\,B_{ki}
e
(B^{t}A^{t})_{ij}=\sum_{k=1}^{n} B_{ki}\,A_{jk}.
Cada termo da soma é um produto de escalares (números). Em campos usuais (por exemplo, nos reais) a multiplicação de escalares é comutativa, ou seja A_{jk}\,B_{ki}=B_{ki}\,A_{jk}. Logo, para todo i,j,
((AB)^{t})_{ij}=(B^{t}A^{t})_{ij}.
Como as entradas correspondentes de duas matrizes quaisquer coincidem para todo i,j, as matrizes são iguais. Assim concluímos
(AB)^{t}=B^{t}A^{t}.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia. Tome
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt]3 & 4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 5\\[2pt]6 & 7\end{pmatrix}.
Calcule AB:
AB=\begin{pmatrix} 1\cdot 0+2\cdot 6 & 1\cdot 5+2\cdot 7\\[2pt] 3\cdot 0+4\cdot 6 & 3\cdot 5+4\cdot 7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}12 & 19\\[2pt]24 & 43\end{pmatrix}.
Transpondo:
(AB)^{t}=\begin{pmatrix}12 & 24\\[2pt]19 & 43\end{pmatrix}.
Agora calcule B^{t} e A^{t}:
B^{t}=\begin{pmatrix}0 & 6\\[2pt]5 & 7\end{pmatrix},\qquad A^{t}=\begin{pmatrix}1 & 3\\[2pt]2 & 4\end{pmatrix}.
E o produto B^{t}A^{t}:
B^{t}A^{t}=\begin{pmatrix} 0\cdot 1+6\cdot 2 & 0\cdot 3+6\cdot 4\\[2pt] 5\cdot 1+7\cdot 2 & 5\cdot 3+7\cdot 4 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}12 & 24\\[2pt]19 & 43\end{pmatrix}.
Confere: (AB)^{t}=B^{t}A^{t} no exemplo concreto também.]

Resposta

(AB)^{t}=B^{t}A^{t}

Exercícios relacionados