Mostre que as seguintes propriedades são verdadeiras
\left(A^{t}\right)^{t}=A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a igualdade
\left(A^{t}\right)^{t}=A
é verdadeira para uma matriz A.\n
Informações dadas (explicitadas para ficar claro):
  • A é uma matriz qualquer (vamos assumir que A tem dimensões \,m\times n, e que seus elementos são a_{ij}, onde i indica a linha e j a coluna).
  • A tarefa é provar que ao transpor A e então transpor novamente, voltamos à matriz original A.

Passo 2

Definição clara e simples do que é transposta: seja A=(a_{ij}) uma matriz m\times n. A transposta de A, denotada por A^{t}, é a matriz de dimensões n\times m cujos elementos são dados por
\left(A^{t}\right)_{ij}=a_{ji}.
Explicação: isto significa que a entrada que estava na linha i e coluna j em A vai para a linha j e coluna i em A^{t}. Troca-se linhas por colunas.

Passo 3

Critério de igualdade entre matrizes (essencial para a prova): duas matrizes X e Y são iguais, X=Y, se e somente se têm as mesmas dimensões e, para todo par de índices (i,j), as entradas correspondentes são iguais:
X_{ij}=Y_{ij}\quad\text{para todo }i,j.
Portanto, para provar \left(A^{t}\right)^{t}=A basta mostrar que as entradas correspondentes são iguais para todo i,j e que as dimensões coincidem.

Passo 4

Fazer a transposição duas vezes, estudando as entradas: defina B=A^{t}. Peladefinição de transposta temos
B_{ij}=\left(A^{t}\right)_{ij}=a_{ji}.
Agora considere a transposta de B, isto é, B^{t}=(A^{t})^{t}. Aplicando novamente a definição da transposta às entradas de B,
\left(B^{t}\right)_{ij}=B_{ji}.
Substituindo B_{ji} pela expressão em termos de A (usando B_{ji}=a_{ij}), obtemos
\left((A^{t})^{t}\right)_{ij}=a_{ij}.

Passo 5

Concluir a igualdade entrywise: a igualdade do passo anterior mostra que, para todo par de índices (i,j),
\left((A^{t})^{t}\right)_{ij}=a_{ij}.
Além disso, se A é m\times n então A^{t} é n\times m e (A^{t})^{t} volta a ser m\times n, ou seja, as dimensões coincidem. Portanto, pelas duas condições do critério de igualdade (mesmas dimensões e mesmas entradas), temos
\left(A^{t}\right)^{t}=A.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (mostra na prática): considere
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\\[4pt]5 & 6\end{pmatrix},
uma matriz 3\times 2. Então
A^{t}=\begin{pmatrix}1 & 3 & 5\\[4pt]2 & 4 & 6\end{pmatrix},
uma matriz 2\times 3. Transpondo novamente:
\left(A^{t}\right)^{t}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]3 & 4\\[4pt]5 & 6\end{pmatrix}=A.
Viu? Entrywise volta tudo igual.]

Passo 7

Dica prática para a prova: em questões sobre propriedades da transposta, faça sempre uma prova “entrywise” (por índices). É curto e direto: escreva \left(A^{t}\right)_{ij}=a_{ji}, aplique a definição mais uma vez e mostre \left((A^{t})^{t}\right)_{ij}=a_{ij}. Termine citando que as dimensões coincidem, logo as matrizes são iguais. Isso é rápido e infalível.

Resposta

\left(A^{t}\right)^{t}=A

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