Mostre que as seguintes propriedades são verdadeiras \left(A^{t}\right)^{t}=A.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a igualdade
\left(A^{t}\right)^{t}=A
é verdadeira para uma matriz A.\n
Informações dadas (explicitadas para ficar claro):
A é uma matriz qualquer (vamos assumir que A tem dimensões \,m\times n, e que seus elementos são a_{ij}, onde i indica a linha e j a coluna).
A tarefa é provar que ao transpor A e então transpor novamente, voltamos à matriz original A.
Passo 2
Definição clara e simples do que é transposta: seja A=(a_{ij}) uma matriz m\times n. A transposta de A, denotada por A^{t}, é a matriz de dimensões n\times m cujos elementos são dados por
\left(A^{t}\right)_{ij}=a_{ji}.
Explicação: isto significa que a entrada que estava na linha i e coluna j em A vai para a linha j e coluna i em A^{t}. Troca-se linhas por colunas.
Passo 3
Critério de igualdade entre matrizes (essencial para a prova): duas matrizes X e Y são iguais, X=Y, se e somente se têm as mesmas dimensões e, para todo par de índices (i,j), as entradas correspondentes são iguais:
X_{ij}=Y_{ij}\quad\text{para todo }i,j.
Portanto, para provar \left(A^{t}\right)^{t}=A basta mostrar que as entradas correspondentes são iguais para todo i,j e que as dimensões coincidem.
Passo 4
Fazer a transposição duas vezes, estudando as entradas: defina B=A^{t}. Peladefinição de transposta temos
B_{ij}=\left(A^{t}\right)_{ij}=a_{ji}.
Agora considere a transposta de B, isto é, B^{t}=(A^{t})^{t}. Aplicando novamente a definição da transposta às entradas de B,
\left(B^{t}\right)_{ij}=B_{ji}.
Substituindo B_{ji} pela expressão em termos de A (usando B_{ji}=a_{ij}), obtemos
\left((A^{t})^{t}\right)_{ij}=a_{ij}.
Passo 5
Concluir a igualdade entrywise: a igualdade do passo anterior mostra que, para todo par de índices (i,j),
\left((A^{t})^{t}\right)_{ij}=a_{ij}.
Além disso, se A é m\times n então A^{t} é n\times m e (A^{t})^{t} volta a ser m\times n, ou seja, as dimensões coincidem. Portanto, pelas duas condições do critério de igualdade (mesmas dimensões e mesmas entradas), temos
\left(A^{t}\right)^{t}=A.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (mostra na prática): considere
Dica prática para a prova: em questões sobre propriedades da transposta, faça sempre uma prova “entrywise” (por índices). É curto e direto: escreva \left(A^{t}\right)_{ij}=a_{ji}, aplique a definição mais uma vez e mostre \left((A^{t})^{t}\right)_{ij}=a_{ij}. Termine citando que as dimensões coincidem, logo as matrizes são iguais. Isso é rápido e infalível.