Mostre que sen 20^{\circ}+\operatorname{sen} 40^{\circ}=\operatorname{sen} 80^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\sin20^\circ + \sin40^\circ = \sin80^\circ.
O conteúdo necessário é a fórmula de soma-em-produto para funções senoidais:
\sin A + \sin B = 2\,\sin\!\Bigl(\frac{A+B}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{A-B}{2}\Bigr).

Passo 2

Aplicando a identidade com A=40^\circ e B=20^\circ, temos
\sin20^\circ + \sin40^\circ = 2\,\sin\!\Bigl(\frac{20^\circ+40^\circ}{2}\Bigr) \cos\!\Bigl(\frac{20^\circ-40^\circ}{2}\Bigr).

Passo 3

Calculemos cada termo:
\frac{20^\circ+40^\circ}{2}=30^\circ, \qquad \frac{20^\circ-40^\circ}{2}=-10^\circ.
Logo
\sin20^\circ + \sin40^\circ = 2\,\sin30^\circ\cos(-10^\circ) =2\cdot\frac12\cdot\cos10^\circ =\cos10^\circ.
Como \cos10^\circ=\sin(90^\circ-10^\circ)=\sin80^\circ, concluímos que
\sin20^\circ + \sin40^\circ = \sin80^\circ.

Resposta

\sin20^\circ + \sin40^\circ = \sin80^\circ.

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