Mostre que y(t)=A sin (k x-omega t) pode ser escrito nas formas alternativas:
y(t)=A sin [2 pi(x / lambda-t / T)].

Passo 1

Beleza, a gente tem uma função que descreve uma onda: y(t) = A sin(kx - omega t) . O exercício pede pra gente mostrar que essa mesma função pode ser escrita de outra forma: y(t) = A sin [2pi(xlambda - tT)] . Então, vamos usar conceitos de ondas, como número de onda ( k), frequência angular ( omega), comprimento de onda ( lambda) e período ( T) para transformar uma expressão na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o número de onda ( k) está relacionado ao comprimento de onda ( lambda) pela fórmula:
k = 2pilambda
Isso significa que podemos substituir k na expressão original usando essa relação.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a frequência angular ( omega). Ela está ligada ao período ( T) da onda pela fórmula:
omega = 2piT
Assim como fizemos com k, podemos substituir omega na expressão original usando essa relação.

Passo 4

Vamos substituir k e omega na expressão original y(t) = A sin(kx - omega t) pelas fórmulas que encontramos:
y(t) = A sin(2pilambda x - 2piT t)
Agora, fatoramos o 2pi que está em ambos os termos:
y(t) = A sin[2pi(xlambda - tT)]
E assim, chegamos à forma alternativa que o exercício pediu.

Resposta

Portanto, mostramos que
y(t) = A sin [2pi(xlambda - tT)]
é uma forma equivalente de escrever a função da onda y(t) = A sin(kx - omega t) .

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